1樓：
更相減損法 古法探源(1)
更相減損術,又稱"等值演算法"
「關於約分問題,實質是如何求分子,分母最大公約數的問題.《九章算術》中介紹了這個方法,叫做」更相減損術」,數學家劉徽對此法進行了明確的註解和說明,是乙個實用的數學方法,中學生應該掌握它.
例1.今有九十一分之四十九,問約之得幾何?
我們用(91,49)表示91和49的最大公約數.按劉徽所說,分別列出分子,分母,」以少減多,更相減損,求其等也,以等數約之,等數約之,即除也,其所以相減者皆等數之重疊,故以等數約之.」譯文如下：
約分的法則是：若分子、分母均為偶數時，可先被2除，否則，將分子與分母之數列在它處，然後以小數減大數，輾轉相減，求它們的最大公約數，用最大公約數去約簡分子與分母。其與古希臘歐幾里德所著的《幾何原本》中卷七第乙個命題所論的相同。
列式如下:
91 49
1 49 42 1
42 7
5 35
7 這裡得到的7就叫做」等數」,91和49都是這等數的重疊(即倍數),故7為其公約數.而7和7的最大公約數就是7,(7,7)=7,所以 (91,49)=(42,7)=(7,7)=7
更相減損術在現代仍有理論意義和實用價值.吳文俊教授說:」在我國,求兩數最大公約數即等數,用更相減損之術,將兩數以小減大累減以得之,如求24與15的等數,其逐步減損如下表所示:
(24,15)->(9,15)->(9,6)->(3,6)->(3,3)
每次所得兩數與前兩數有相同的等數,兩數之值逐步減少,因而到有限步後必然獲得相同的兩數,也即所求的等數,其理由不證自明.
這個寓理於算不證自明的方法,是完全構造性與機械化的盡可以據此編成程式上機實施」.吳先生的話不僅說明了此法的理論價值,而且指明學習和研究的方向.
更相減損法很有研究價值,它奠定了我國漸近分數,不定分析,同余式論和大衍求一術的理論基礎.望能仔細品味
2樓：哀長征玄媚
《九章算術》是中國古代的數學專著，其中的「更相減損術」也可以用來求兩個數的最大公約數，即「可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。」
翻譯成現代語言如下：
第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。
第二步：以較大的數減較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止，則這個等數就是所求的最大公約數。
其中所說的「等數」，就是最大公約數。求「等數」的辦法是「更相減損」法，實際上就是輾轉相除法。
例用更相減損術求98與63的最大公約數
解：由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並展轉相減
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公約數等於7。
3樓：匿名使用者
只是為了簡便計算，有偶倍數情況下可能計算要複雜一些。僅此而已。
先把4除掉後：
21－8＝13
13－8＝5
8－5＝3
這樣計算會快些。
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