1樓：網友
設x=是可分度量空間v有可數稠密子集， v1是v的任意乙個非空子空間， d是度量。
由於x在v中稠密， 所以對任意的k>=1, v=ub(xn,1/k), 這裡u表示取並集， b(xn,1/k)表示中心為xn半徑為1/k的球。
從而v1=v1∩v=v1∩(ub(xn,1/k))=u在每乙個非空的b(xn,1/k)∩v中取乙個元素記作znk, 這樣的znk至多可數個， 它們構成乙個集合記作z, 則z就是v1的可數稠密子集。 事實上， 對任意的k>=1, 任取v1中元素x, 由於v1=u, 所以存在n>=1使得x∈b(xn,1/(2k))∩v1, 由於b(xn,1/(2k))∩v1非空， 所以znk是存在的， 因此d(x,znk)<=d(x,xn)+d(xn,znk)<1/(2k)+1/(2k)=1/k. 由k的任意性知z在v1中稠密。
2樓：網友
我們老師也讓證這個命題，但是不是有問題呢？原可分空間定為（x，d)。
1、子空間m也是個空間，所以由空間可分的定義，m有乙個可數（可列無限對吧）的稠密子集。
2、若子空間m只有有限個元素呢，則可分的前提都不滿足，m不可能有可數無限個不同元素（以離散空間為簡單反例，原空間的任意有限或無限子集都能形成度量空間吧），不可能為可分空間。
3、我認為是不是在子空間中增加無限兩字，即無限的子空間，那樣命題應該是成立的。
4、**一下，是不是所有的可分空間應該預設乙個大前提：那就是空間中有無限多個元素呢？？？
證明：可分度量空間的每乙個子空間都是可分空間? 求詳解；
3樓：白露飲塵霜
設x=是可分度量空間v有可數稠密子集，v1是v的任意乙個非空子空間，d是度量。
由於x在v中稠密，所以對任意的k>=1,v=ub(xn,1/k),這裡u表示取並集，b(xn,1/k)表示中心為xn半徑為1/k的球。
從而v1=v1∩v=v1∩(ub(xn,1/k))=u在每乙個非空的b(xn,1/k)∩v中取乙個元素記作鬥衫znk,這樣的znk至多可數個，它們構成乙個集合記作z,則z就是v1的可數稠密子集。事實上，對任意的k>=1,任襲銷清取v1中元素x,由於v1=u,所以存在n>=1使得x∈b(xn,1/(2k))∩v1,由於b(xn,1/(2k))∩v1非空，所以znk是存在的，因此d(x,znk)
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