子集族的定義是什麼

1樓：及千風

子集族又稱一般拓撲學

用點集的方法研究拓撲不變數的拓撲分支。它的前身是點集拓撲學。點集拓撲學產生於19世紀。

g.康托爾建立了集合論，定義了歐幾里得空間中的開集、閉集、導集等概念，獲得了歐幾里得空間拓撲結構的重要結果。2023年m.

-r.弗雷歇把康托爾的集合論與函式空間的研究統一起來，建立了廣義分析，可看為拓撲空間理論建立的開始。泛函分析的興起，希爾伯特空間和巴拿赫空間的建立，更促進了把點集當作空間來研究。

數學分析研究的中心問題是極限，而收斂與連續又是極限的基本問題。為把收斂與連續的研究推廣到一般集合上，需要在一般集合上描述與點或與集合「鄰近」的概念。如何描述「鄰近」，可以用「距離」，但「距離」與「鄰近」並無必然的聯絡。

2023年f.豪斯道夫開始考慮用「鄰域」來定義拓撲。對乙個非空的集合x，規定x的每點有乙個包含此點的子集作成的子集族，滿足一組鄰域公理（即仿照歐幾里得空間鄰域所具特性給出的一組性質）。

該子集族中的每個集合稱為這點的乙個鄰域。這就給出了x的乙個拓撲結構。x連同此拓撲結構稱為乙個拓撲空間。

x的每點有鄰域，故可研究一點的鄰近，由此可仿照微積分的方法定義兩個拓撲空間之間的連續對映的概念。若乙個對映連續，且存在逆對映，逆對映也連續，則稱此對映為同胚對映。具有同胚對映的兩個拓撲空間稱為同胚的（直觀地說即兩個空間相應的圖形從乙個可連續地形變為另乙個）。

要證明兩個空間同胚，只要找到它們之間的同胚對映即可。在歐幾里得直線上，作為子空間，兩個任意的閉區間同胚；任意兩開區間同胚；半開半閉的區間[c，d〕與[a,b〕同胚。二維球面挖去乙個點s2－p與歐幾里得平面k2同胚。

要證明兩個拓撲空間不同胚，需證明它們之間不存在同胚對映。方法是找同胚不變數或拓撲不變性（即在同胚對映下保持不變的性質）；第乙個空間具有某同胚不變數，另乙個空間不具有，則此二空間不同胚。一般拓撲學中常見的拓撲不變性有連通性、道路連通性、緊性、列緊性、分離性等（見拓撲空間）。

在歷史上f.豪斯多夫提出了分離空間；弗雷歇看出了緊性與列緊性有密切關係；l.s.

烏雷松對緊空間進行了系統研究，且在拓撲空間可否變數化的問題上作出了貢獻；2023年h.嘉當引進了「濾子」的概念，能進一步刻畫一致收斂，使收斂的更本質的屬性揭示了出來；維數的問題是e.嘉當在研究皮亞諾曲線（一種可填滿整個正方形的「曲線」）時提出的，2023年h.

龐加萊給出定義，烏雷松等人加以改進。

2樓：匿名使用者

集族就是集合的元素全是乙個個的小集合，子集族就好比是這個集合的子集