1樓：
證明：不妨設
f(b)>0，令
e=。由f(a)<0知e≠φ，且b為e的乙個上界，於是根據確界存在原理，
存在ξ=supe∈[a、b]，
下證f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此時必有ξ∈(a、b)），事實上，
(i)若f(ξ)<0，則ξ∈[a、b)，由函式連續的區域性保號性知
存在δ>0，對x1∈(ξ,ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈e:x1>supe，
這與supe為e的上界矛盾；
(ii)若f(ξ)>0，則ξ∈(a,b]，仍由函式連續的區域性保號性知
存在δ>0，對x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1為e的乙個上界，且x1<ξ,
這又與supe為e的最小上界矛盾。
綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。
擴充套件資料
用羅爾定理證明中值等式的思路與步驟
在確定使用羅爾定理來證明中值等式時，可考慮如下基本思路與步驟：
(1) 變換預證等式：化簡、移項，將等式所有項移動到左側，使得右側等於0，即具有g(ξ)=0的形式.
(2) 構造輔助函式f(x)：將等式中的中值符號，如ξ，替換為變數x，將其轉換為函式g(x)在中值的函式值，然後計算、構造該函式的乙個原函式f(x)(即導數為g(x)的函式). 在原函式f(x)無法直接計算得到的情況下。
可以考慮引入不增加導函式g(x)零點的輔助函式h(x)乘以g(x)來構造原函式f(x)，即問題轉換為尋找g(x)h(x)的原函式f(x). 常用的輔助函式h(x)有自然常數為底的指數函式ex，不包含原點區間的冪函式xn等，使得f』(x)=g(x)或者f』(x)=g(x)h(x)。
2樓：匿名使用者
給你乙個介值定理的證明,跟這個定理是一樣的,只要把u換成0就可以了
我們證明第一種情況f(a) < u < f(b)；第二種情況也類似。
設s為[a, b]內所有x的集合，使得f(x) ≤ u。那麼s是非空的，因為a是s的乙個元素，且s是上有界的，其上界為b。於是，根據實數的完備性，最小上界c = sup s一定存在。
我們來證明f(c) = u。
* 假設f(c) > u。那麼f(c) − u > 0，因此存在δ > 0，使得當|x − c| < δ時，就有|f(x) − f(c)| < f(c) − u，因為f是連續函式。但是，這樣一來，當|x − c| < δ時，就有f(x) > f(c) − (f(c) − u) = u（也就是說，對於(c − δ, c + δ)內的x，都有f(x) > u）。
因此c − δ是s的乙個上界，與我們假設c是最小上界以及c − δ < c矛盾。
* 假設f(c) < u。根據連續性，存在乙個δ > 0，使得當|x − c| < δ時，就有|f(x) − f(c)| < u − f(c)。那麼對於(c − δ, c + δ)內的x，都有f(x) < f(c) + (u − f(c)) = u，因此存在大於c的x，使得f(x) < u，這與c的定義矛盾。
因此f(c) = u。
此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函式 f(x) = x2 − 2 滿足 f(0) = − 2,f(2) = 2，但不存在滿足 f(x) = 0 的有理數 x。
3樓：紅帽子の占星師
個人覺著區間套定理比「滿意答案」好
4樓：匿名使用者
用閉區間套定理很簡單
法2設f（a)大於0
所有f（x）大於0的x組成乙個集合 則x的上確界的函式值為0 因為連續 函式值不能大於0 也不能小於0
5樓：匿名使用者
（僅供個人參悟，不能用於考試）
都說了異號，就是乙個是正數乙個是負數。你在座標軸上在x軸上方畫一點，再在x軸下方畫一點。因為該函式在定義域內連續，所以這兩點之間函式曲線一定只有一條，用筆連吧。
無論怎麼連，這條線至少與x軸有乙個交點。原題得證
6樓：
因為f(x)在閉區間[a,b]上連續。
f(a),f(b)異號，不妨設f(a)>0,f(b)<0所以存在這樣的區間序列[a(n),b(n)](n=1,2,3...)其中a0
於是：必定存在兩點a(i),a(j)(a(i)0,f(a(j))>0)
使得a 由此記得出：ξ一定不屬於[a(j),b(j)]矛盾！證畢# 7樓：真崩潰了 不失一般性，設f(a)<0而f(b)>0 定義集合a=, a是有界的，也是不空的，這樣a有乙個上確界ξ。 然後先要證明 ξ∈(a,b)，這個只需要考慮函式的連續性的定義，這是乙個極限，f(a)<0和f(b)>0作為兩個極限值，利用極限的性質就可以了 然後取a中的一列數，令xn→ξ, (n→∞)，由f(xn)<0知f(ξ)=limf(xn)≤0 最後說明不可能是 f(ξ)<0，因為根據f(x)在ξ的連續性，若f(ξ)<0，在ξ的乙個鄰域中都有f(x)<0，這與ξ作為a的上確界相矛盾 所以f(ξ)=0 另外可以參考 葉翠嵐招明 函式的零點最直觀的判斷方法是畫圖.舉例 x 1 ax有一負根且無正根，求a的取值範圍 x 1 ax 等價於x 2 1 ax 2 整理得 a 2 1 x 2 2ax 1 0有一負根且無正根,然後對a 2 1進行討論當a 2 1 0 即a 1 1時,分別代入原式可得到 a 1成立 a 1不成...如何判斷函式的零點個數，如何判斷函式零點個數呢，要詳細點 5