1樓：匿名使用者
這基本上是乙個數論題目, 不知你對同餘, fermat小定理是否熟悉?
在數論中可用以下兩個結論證明 (這兩個結論我就不證了):
① 若正整數a, m, n, k滿足a^m ≡ a^n ≡ 1 (mod k), 則對m, n的最大公約數d, 有a^d ≡ 1 (mod k).
② (fermat小定理)若q為質數, a不是q的倍數, 則a^(q-1) ≡ 1 (mod q).
原題證明: 設q是m = 2^p-1的乙個質因數, 即有2^p ≡ 1 (mod q).
由②, 有2^(q-1) ≡ 1 (mod q) (易見2不是q的倍數).
考慮p和q-1的最大公約數d, 由p是質數, 有d = 1或p.
而由①, 2^d ≡ 1 (mod q), 可知d ≠ 1, 即d = p.
於是q-1 > 0作為d = p的倍數, 有q-1 ≥ p, 即q > p.
在抽象代數中可以用群論的知識來證明:
設q是m = 2^p-1的乙個質因數, 考慮mod q的剩餘類環z/qz = .
由q是質數, 其中的非零元都是(乘法)可逆元.
全體可逆元構成的乘法群(z/qz)*是q-1階群, 以1為單位元.
考慮2在(z/qz)*中生成的子群<2> = , 設其階數為r, 則<2>是乙個r階迴圈群.
由q | 2^p-1, 可知在mod q意義下2^p = 1, 於是可得r | p.
由p是質數, 有r = 1或p, 但顯然r ≠ 1, 即有r = p.
而<2>作為(z/qz)*的子群, 由lagrange定理, 其階數r = p整除(z/qz)*的階數 = q-1.
於是q-1 ≥ p, 即q > p.
個人對離散數學的範圍不太清楚, 有疑問請追問.
2樓：花知烏雅寅
乙個大於3的數，若被6除餘3，則一定能被3整除；若被6除餘2或4，則一定能被2整除，所以乙個數如果是質數，則被6除餘1或5。1的平方和5的平方都被6除餘1，
∴大於3的質數的平方除以6餘1