1樓：旁代巧
假設存在一組常數k，k1，…，kt，使得：
kβ+t
i＝1k
i(β+α
i)=0，
即：(k+t
i＝1k
i)β=t
i＝1(?ki)α
i．①，
①上式兩邊同時乘以矩陣a，則有
(k+t
i＝1k
i)aβ=t
i＝1(?k
i)aαi．
因為：α1，α2，…，αt是齊次線性方程組ax=0的乙個基礎解系，所以：aαi=0，故有
(k+t
i＝1k
i)aβ=0，
又因為：aβ≠0，
所以：k+t
i＝1k
i=0，②，
將②代入①式左端，得：
ti＝1
(?ki)αi
=0．因為：α1，α2，…，αt是齊次線性方程組ax=0的乙個基礎解系，
所以：α1，α2，…，αt是線性無關，
從而：k1=…=kt=0，
將上式又代入②式得：
k=?t
i＝1k
i=0，
所以：k=k1=…=kt=0，
因此，向量組β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關，證畢．
設α1，α2，α3，α4是齊次線性方程組ax=0的乙個基礎解系，則下列向量組中不再是ax=0的基礎解系的為（
2樓：手機使用者
①選項a，由於（α1，α1+α2，α1+α2+α3，α1+α2+α3+α4）=（α1，α2，α3，α4）11
1101
1100
1100
01，而.111
1011
1001
1000
1.≠0，故α1，α1+α2，α1+α2+α3，α1+α2+α3+α4線性無關，
因而此向量組是ax=0的基礎解系，故a錯誤；
②選項b．由於（α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1）=（α1，α2，α3，α4）10
0?111
0001
1000
11，而.100
?1110
0011
0001
1.≠0，故α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1線性無關
因而此向量組是ax=0的基礎解系，故b錯誤；
③選項c．由於（α1+α2，α2-α3，α3+α4，α4+α1）=（α1，α2，α3，α4）10
0111
000?1
1000
11，而.100
1110
00?11
0001
1.≠0故α1+α2，α2-α3，α3+α4，α4+α1線性無關
因而此向量組是ax=0的基礎解系，故c錯誤；
④選項d．由於（α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1）=（α1，α2，α3，α4）10
0111
0001
1000
11，而.100
1110
0011
0001
1.＝0故α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性相關
因而此向量組不是ax=0的基礎解系，故d正確
故選：d．
設α1，α2，α3是齊次線性方程組ax=0的乙個基礎解系.證明α1，α1+α2，α1+α2+α3也是ax=0的基礎解系
3樓：典易戎
只需證明，向量組α1，α2，α3
與α1，α1+α2，α1+α2+α3是等價的，都是自身的極大無關組（即向量組中向量線性無關
，或者證明秩相等，都是3）即可
方法：(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=(α1，α2，α3)*11
1011
001=(α1，α2，α3)p
顯然矩陣p是可逆矩陣，因此不改變原向量組的秩，因此向量組(α1，α1+α2，α1+α2+α3)
與(α1，α2，α3)秩相等，且可以相互線性表示（是等價的）
4樓：盤國英譚婷
證明:(α1,α1+α2,α2+α3)=(α1,α2,α3)pp=1100
1100
1因為|p|=1≠0,
所以p可逆.
所以α1,α2,α3
與α1,α1+α2,α2+α3
等價.所以
r(α1,α1+α2,α2+α3)
=r(α1,α2,α3)=3.
且ax=0
的解可由
α1,α1+α2,α2+α3
線性表示.
故α1,α1+α2,α2+α3
是ax=0
的基礎解系.
設α1，α2，α3是齊次線性方程組ax=0的乙個基礎解系.證明α1，α1+α2，α2+α3也是ax=0的基礎解系.
5樓：匿名使用者
證明: (α1,α1+α2,α2+α3)=(α1,α2,α3)pp =1 1 0
0 1 1
0 0 1
因為 |p|=1≠0, 所以p可逆.
所以 α1,α2,α3 與 α1,α1+α2,α2+α3 等價.
所以 r(α1,α1+α2,α2+α3) = r(α1,α2,α3) = 3.
且 ax=0 的解可由 α1,α1+α2,α2+α3 線性表示.
故 α1,α1+α2,α2+α3 是ax=0 的基礎解系.
設α1，α2，α3,α4是齊次線性方程組ax=0的乙個基礎解系.
6樓：關河哥哥
首先題目應該交代了α1，α2，α3, α4為ax=0的基礎解系。
可見α1，α2，α3, α4為ax=0的基礎解中的極大線性無關組，秩為4.
證明：1.證明α1+α2，α2+α3, α3+α4, α4+α1認為ax=0的解；
a（α1+α2）=aα1+ aα2=0+0=0，顯然α1+α2為ax=0的解，同理可證其他向量也為ax=0的解。
2.或者證明α1，α2，α3, α4和α1+α2，α2+α3, α3+α4, α4+α1為等價向量組
或者證明α1+α2，α2+α3, α3+α4, α4+α1為線性無關組。
我們採用第二種證明方法：
設c1（α1+α2）+c2(α2+α3)+c3( α3+α4)+c4(α4+α1)=0
整理得(c1+c4)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3+(c3+c4)α4=0
由α1，α2，α3, α4線性無關可得
c1+c4=0
c1+c2=0
c2+c3=0
c3+c4=0
解方程組得c1=c2=c3=c4=0.從而α1+α2，α2+α3, α3+α4, α4+α1線性無關
又由於其為ax=0的解，所以其為ax=0的基礎解系。證畢！
設a1,a2,…at為齊次線性方程組ax=0的乙個基礎解系。向量b不是ax=0的解，證明:向量組b,b+a1,b+a2,…b+at...
7樓：匿名使用者
證明: 設 kβ+k1(β+α1)+...+kn(β+αt) = 0則 (k+k1+...+kt)β+k1α1+...+knαt = 0 (1)
等式兩邊左乘a, 由 aαi=0 得
(k+k1+...+kt)aβ = 0.
由aβ≠0
所以 k+k1+...+kt = 0
所以k1α1+...+ktαt = 0.
已知向量組α1,α2,α3是齊次線性方程組ax=0的乙個基礎解系
8樓：匿名使用者
直接觀察看不出來,就計算行列式,等於0的不是基礎解系如 (a) 行列式 =
1 1 0
0 1 1
-1 0 3
= 2(b)
1 1 0
-1 0 2
0 1 1
=-1(c)
1 0 -1
0 1 1
1 2 1
=0選(c)
事實上有 (α1-α3)+2(α2+α3)-(α1+2α2+α3)=0