1樓：匿名使用者
證明：n個（a+b）相乘，是從（a+b）中取乙個字母a或b的積。所以（a+b）^n的式中每一項都是)a^k*b^(n-k)的形式。
對於每乙個a^k*b^(n-k)，是由k個(a+b)選了a,（a的係數為n個中取k個的組合數（就是那個c右上角乙個數，右下角乙個數））。（n-k）個(a+b)選了b得到的（b的係數同理）。由此得到二項式定理。
二項式係數之和: 2的n次方 而且式中奇數項二項式係數之和等於偶數項二項式係數之和等於2的(n-1)次方 二項式定理的推廣： 二項式定理推廣到指數為非自然數的情況：
形式為 注意：|x|<1 (a+b)^n=c(n,0)a^n+c(n,1)a^(n-1)*b+c(n,2)a^(n-2)*b^2+...+c(n,n)b^n
2樓：匿名使用者
如(a+b)^n寫成(a+b)(a+b)(a+b)……所有括號中取a，乙個取b，兩個取b，依次下去，就得到結果
二項式定理怎麼證明？
3樓：xu信天遊
n個（a+b）相乘，是從（a+b）中取乙個字母a或b的積。所以（a+b）^n的式中每一項都是)a^k*b^(n-k)的形式。對於每乙個a^k*b^(n-k)，是由k個(a+b)選了a,（a的係數為n個中取k個的組合數（就是那個c右上角乙個數，右下角乙個數））。
（n-k）個(a+b)選了b得到的（b的係數同理）。由此得到二項式定理。
二項式係數之和:
2的n次方
4樓：偶藹程豫
當n=1時，左邊＝（a+b)1＝a+b
右邊＝c01a+c11b=a+b;左邊＝右邊假設當n＝k時，等式成立，即（a+b)n=c0nan＋c1na(n-1)b十…十crn
a(n-r)br十…十cnn
bn成立;
則當n=k+1時,
（a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[c0nan＋c1na(n-1)b十…十crn
a(n-r)br十…十cnn
bn]*(a+b)=[c0nan＋c1n
a(n-1)b十…十crn
a(n-r)br十…十cnn
bn]*a＋[c0nan＋c1n
a(n-1)b十…十crn
a(n-r)br十…十cnn
bn]*b＝[c0na(n+1)＋c1n
anb十…十crn
a(n-r+1)br十…十cnn
abn]+[c0nanb＋c1n
a(n-1)b2十…十crn
a(n-r)b(r+1)十…十cnn
b(n+1)]＝c0na(n+1)＋(c0n+c1n)anb十…十(c(r-1)n+crn)
a(n-r+1)br十…十(c(n-1)n+cnn)abn+cnnb(n+1)]＝c0(n+1)a(n+1)+c1(n+1)anb+c2(n+1)a(n-1)b2+…＋cr(n+1)
a(n-r+1)br+…+c(n+1)(n+1)b(n+1)
∴當n=k+1時，等式也成立；
所以對於任意正整數，等式都成立
二項式定理怎樣證明啊~
5樓：水德水相亭
當n=1時，左邊＝（a+b)1＝a+b
右邊＝c01a+c11b=a+b;左邊＝右邊假設當n＝k時，等式成立，即（a+b)n=c0nan＋c1na(n-1)b十…十crn
a(n-r)br十…十cnn
bn成立;
則當n=k+1時,
（a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[c0nan＋c1na(n-1)b十…十crn
a(n-r)br十…十cnn
bn]*(a+b)=[c0nan＋c1n
a(n-1)b十…十crn
a(n-r)br十…十cnn
bn]*a＋[c0nan＋c1n
a(n-1)b十…十crn
a(n-r)br十…十cnn
bn]*b＝[c0na(n+1)＋c1n
anb十…十crn
a(n-r+1)br十…十cnn
abn]+[c0nanb＋c1n
a(n-1)b2十…十crn
a(n-r)b(r+1)十…十cnn
b(n+1)]＝c0na(n+1)＋(c0n+c1n)anb十…十(c(r-1)n+crn)
a(n-r+1)br十…十(c(n-1)n+cnn)abn+cnnb(n+1)]＝c0(n+1)a(n+1)+c1(n+1)anb+c2(n+1)a(n-1)b2+…＋cr(n+1)
a(n-r+1)br+…+c(n+1)(n+1)b(n+1)
∴當n=k+1時，等式也成立；
所以對於任意正整數，等式都成立
如何證明二項式定理?
如何用數學歸納法證明二項式定理
6樓：天枰誅
先驗證1次方……
再假設k次方……
最後k+1時改成k次方乘以（a+b）帶入上一步假設的利用多項式乘法解決問題。
例：證明：當n=1時，左邊＝（a+b)1＝a+b
右邊＝c01a+c11b=a+b
左邊＝右邊
假設當n＝k時，等式成立，
即（a+b)n=c0nan＋c1n a(n-1)b十…十crn a(n-r)br十…十cnn bn成立;
則當n=k+1時, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[c0nan＋c1n a(n-1)b十…十crn a(n-r)br十…十cnn bn]*(a+b)
=[c0nan＋c1n a(n-1)b十…十crn a(n-r)br十…十cnn bn]*a＋[c0nan＋c1n a(n-1)b十…十crn a(n-r)br十…十cnn bn]＝[c0na(n+1)＋c1n anb十…十crn a(n-r+1)br十…十cnn abn]+[c0nanb＋c1n a(n-1)b2十…十crn a(n-r)b(r+1)十…十cnn b(n+1)]
＝c0na(n+1)＋(c0n+c1n)anb十…十(c(r-1)n+crn) a(n-r+1)br十…十(c(n-1)n+cnn)abn+cnn b(n+1)]
＝c0(n+1)a(n+1)+c1(n+1)anb+c2(n+1)a(n-1)b2+…＋cr(n+1) a(n-r+1)br+…+c(n+1)(n+1) b(n+1)
∴當n=k+1時，等式也成立；
所以對於任意正整數，等式都成立
7樓：火腿嘗
利用楊輝三角。
(1)觀察楊輝三角,猜想二項式定理
既然表中除1以外的每個數都等於它肩上兩個數的和,如將第1行的1,1用組合數c01,c11表示,那麼第2 行的中間一數應為c01+ c11= c12,引導學生利用組合的性質c0n=cnn=1, cmn+cm-1n= cmn+1
將楊輝三角中每個數轉化成組合數形式:
歸納猜想:(a十b)n式的係數是,,,…,於是
(a十b)n=c0n an十c1n an-1十…十an-rbr十…十cnn bn
(2)概念:這個公式叫二項式定理,右邊的多項式叫做(a十b)n的二項式,
(r=0,1,……n)叫做二項式係數,叫做二項式的通項,記作tr+1=.
(3) (a十b)n式的特點
二項式定理(a十b)n=c0n an十c1n an-1十…十an-rbr十…十cnn bn的特點是:
(1)項數:共有n十1項;
(2)係數:第r十1項的係數是 (r=o,l,2,…,n);
(3)指數:a的指數是從n開始,逐漸減1按降冪排列到0;b的指數是從0開始,逐漸加1按公升冪排列到n;
(4)項的次數:各項次數和都是n;
(4)注意事項(通項公式的應用)
二項式的通項tr+1=, (r=0,l,2,…,n)是(a十b)n式的第r十l項,而不是第r項.其中還要注意下面兩點:
第一點是a,b的位置不能顛倒,即(b十a)n的式第r十1項,不是,而應為;
第二點是(a一b)n的式第r十1項為=(-1)r.
(2)注意區別二項式係數與指定項的係數二者異同
在(a十b)n的式中,係數(r=0,l,…,n)是一組僅與二項式的次數n有關的n十1個組合數,而與a,b無關,因此稱為二項式係數.而(a十b)n的式中指定項係數與a,b是有聯絡的.例如:
(1十x)n的式第r十1項的係數為,而(1十2x)n的式第r十l項的係數為2r,(2十x)n的式第r十1項的係數為
重在啟發,引導學生歸納
例題講解
(1+1)4.
求(2a+b)5的式的
第四項;
(2)第四項的二項式係數;
(3)第四項的係數.
簡解:(1)t3+1==10·4a2b3=40a2b3
(2) =10
(3) 40
強調:式中某項的係數與二項式係數是不同的概念.
【例3】求(x-)9的式中x3的係數.
分析:抓住通項公式.
【例4】 求(一)15的式中常數項.
分析 (一)15的式中的常數項,就是式中x的指數為零的項.
解 設(一)15式中常數項為第r十1項,則tr+1=
=,令 解得r=6,從而可知不含x的項是式中的第7項.
所以式中常數項為t7=(一1)6=5005.
評注 根據已知條件求二項式中特定的項的問題,往往先根據己知條件或通項公式,把問題轉化為求方程的解,最後再代人通項公式求出問題的解.
8樓：希望教育資料庫
證明：當n=1時，左邊＝（a+b)1＝a+b
右邊＝c01a+c11b=a+b;左邊＝右邊
假設當n＝k時，等式成立，即（a+b)n=c0nan＋c1n a(n-1)b十…十crn a(n-r)br十…十cnn bn成立;
則當n=k+1時, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[c0nan＋c1n a(n-1)b十…十crn a(n-r)br十…十cnn bn]*(a+b)
=[c0nan＋c1n a(n-1)b十…十crn a(n-r)br十…十cnn bn]*a＋[c0nan＋c1n a(n-1)b十…十crn a(n-r)br十…十cnn bn]*b
＝[c0na(n+1)＋c1n anb十…十crn a(n-r+1)br十…十cnn abn]+[c0nanb＋c1n a(n-1)b2十…十crn a(n-r)b(r+1)十…十cnn b(n+1)]
＝c0na(n+1)＋(c0n+c1n)anb十…十(c(r-1)n+crn) a(n-r+1)br十…十(c(n-1)n+cnn)abn+cnn b(n+1)]
＝c0(n+1)a(n+1)+c1(n+1)anb+c2(n+1)a(n-1)b2+…＋cr(n+1) a(n-r+1)br+…+c(n+1)(n+1) b(n+1)
∴當n=k+1時，等式也成立；
所以對於任意正整數，等式都成立
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