地下水流有限元模型

1樓：中地數媒

地下水數值模擬的有限元法的原理與有限差分法有所不同，有限差分法以偏微分方程的差分近似為基礎，而有限元法以積分方程的離散近似為基礎。在以往的研究中，推導有限元方程有兩種方法，分別為迦遼金(galerkin)法與裡茨(ritz)法。

galerkin法採用加權餘量的積分公式(以平面模型為例)為

典型煤礦地下水運動及汙染數值模擬:feflow及modflow應用

式中:r(h')為近似解h'形成的餘量函式;w為權函式;x為模型的某個子域。

ritz法是利用與地下水偏微分方程等價的函式極限值函式進行求解，即

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式中:j(h)是等價範函，積分內公式f定義為使j(h)取極小值的函式h(x，y，t)恰好滿足地下水流的偏微分方程。於是，地下水方程的近似解通過以下極值條件方程:

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得到，式中hp是模型子域上的節點水頭。已有證明，當有限元網格單元採用相同的插值函式及形函式時，上述兩種方法實際上是完全等價的，所形成的代數方程組相同。為此，本書中不再對有限元法的積分方程進行推導。

最常見的平面有限單元網格是三角形網格，而四邊形網格也有較多的應用。三位有限元模型一般採用分層網格建立6節點或8節點等參單元。有限元的積分方程就是在網格單元的基礎上近似求解的。

首先討論平面三角形單元(圖2-3)。單元e的3個頂點編號按照逆時針順序分別為i，j，k，水頭在單元內任意座標點(x，y)的分佈特徵採用線性插值函式進行近似描述:

圖2-3 三角形單元及其頂點編號

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式中:β1、β2、β3為幾何係數。把節點i，j，k處的座標和水頭代入式(2-28)得

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這是線性方程組，求解得

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式中:典型煤礦地下水運動及汙染數值模擬:feflow及modflow應用

式中:ae為三角形單元面積。將式(2-33)～式(2-35)代入式(2-29)，則插值函式可改寫為

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令:典型煤礦地下水運動及汙染數值模擬:feflow及modflow應用

是節點i、j、k在單元e內的形引數。對於固定座標點(x，y)，形函式具有以下的性質:

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式中:上標e表示求和只能在同一三角形單元內進行。當所有節點的水頭已知時，就可以把形參函式代入式(2-40)計算三角形單元內任意座標位置的水頭。

四邊形單元也可以採用類似的方法建立插值函式和形函式，但是在形式上覆雜一些。首先，任意的四邊形都可以影射為一個正方形，圖2-4a中(x，y)座標系下的四邊形1－2－3－4，可通過變換，形成2-4b中(η，ξ)座標系下的正方形1－2－3－4。這個正方形單元被稱為等參單元，其形函式定義為

圖2-4 任意四邊形單元的座標變換

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式中:(ηi，ξi)為節點i的對映座標。等參單元內的任意一點(η，ξ)，通過上述形引數與實際四邊形單元內的對應座標點建立如下關係，即

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式中:xi，yi為節點i的實際座標。因此，等參單元內形函式與實際單元函式具有一一對應的關係:

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而等參單元內的任意一點(η，ξ)的水頭，也可以通過形函式變換為座標下(x，y)處的水頭

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在建立有限元方程時，需要用到一下型別的偏導數

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對於三角形網格中的一個節點p(圖2-5)，建立有限元方程的積分割槽域包括了與p點相鄰的所有節點p－1，p－2等，即以p點為共同頂點的所有三角形單元所覆蓋的區域。積分採用分片法，即在相鄰的三角形單元內分別積分，然後求總和，得到對應於p點的有限元方程。

圖2-5 三角形網格中的節點及其水均衡控制區(陰影部分)

通過建立有限元網格節點的水均衡控制區，採用水量均衡原理，也可推匯出地下水流的有限元方程，與積分法得到的結果相同。這種推導方法更加清楚地反映了地下水流的物理機制。如圖2-5所示，節點p的水均衡控制區是一系列三角形重心與側邊中點的連線所圍成的區域。

每個三角形單元中，屬於節點p水均衡控制區的面積是其單元面積的1/3。因此，節點p水均衡控制區的面積為

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式中:e－n為第n個相鄰三角形單元的整體編號;ae－n為其面積。

地下水通過控制區周邊流入控制區內的側向流量qh，可以用流速在控制區邊界線上的線積分得到

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式中:v為流速向量;n為邊界線s上微分線段ds的內法線向量;vx和vy分別為x方向和y方向的流速分量;m為含水層的厚度。設滲透係數的主軸與座標軸一致，則流速向量可根據達西定律獲取:

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代入式(2-51)有

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確定上述積分的方法是在節點p相鄰的三角形單元內分別計算，然後求和，即

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其中，每個三角形單元e－n流量貢獻為

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式中:s－n為在三角形單元e－n內的積分路徑。以圖2-5中的單元e－1為例，節點p控制區在該單元內的積分路徑為a－b－c，其中a為點p和點p－1連線的中點，b為點p和點p－2連線的中點，c為單元e－1的重心。

根據三角形單元內水頭的插值函式式(2-40)，有

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根據式(2-41)得

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同理有典型煤礦地下水運動及汙染數值模擬:feflow及modflow應用

可見水力梯度在三角形單元內是一常量，可以提取到式(255)的積分號外部，即

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根據點a和點c與單元e－1的3個頂點之間的關係，有

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將式(2-61)和式(2-61)代入式(2-60)，得

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將式(2-63)代入式(2-59)，得

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三角形單元e－1中的節點p、節點p－1以及節點p－2分別與圖4-9中普遍單元的頂點i，j，k相互對應，有了式(2-64)之後，引入如下的係數來反映單元e內節點與節點之間的關係:

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式中:gpl為節點l與節點p的控制區之間的關係。利用式(2-65)可以把式(2-64)改寫為

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代入式(2-64)得到流向節點p控制區的總側向流量:

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式中:p－j和p－k分別表示沿著單元e－i從節點p逆時針移動遇到的第一個節點與第二個節點。

以圖25中的節點p為例，式(2-67)，得到

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在整個網格中，節點之間在各個單元中的關聯絡數可以合併為

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式中:gpl為節點p與節點l之間在整體網路上的關聯絡數;epl為共同擁有節點p和l的單元的數目，說明節點p和l之間沒有直接關係。關聯絡數的重要特徵是對稱性:

epl=gpl。運用式(2-69)，流向節點p控制區的側向流量可表示為

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式中:n為網格中的總節點數。

對於承壓含水層，在時間步長δtk內，節點p控制區內水體積的增加量為

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式中:k為時間步長。標準的有限元法是把差值函式引入上述積分，並分別在相鄰單元內積分再求和，匯出δvw中包含全部相鄰節點的水頭變化資訊。

目前，地下水流有限元模型中，普遍採用儲量集中處理法，即用節點p的水頭變化表示控制區的平均水頭變化，有

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式中:ap按照式(2-50)計算，這種簡單的做法反而可以改善有限元的計算結果。根據水均衡原理，控制區水體積的增量與外部流量補給的水量相等，即

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式中:qa是其他外部不計流量。利用式(2-70)和式(2-72)，可以式(2-73)為

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這就是承壓含水層模型中對應節點p的隱式有限元方程。

潛水含水層的有限元方程可寫為

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式中:sy為給水度。關聯絡數gpl中的導水系數tx，ty與當前時刻的帶球水頭有關，因此屬於非線性方程。

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