1樓：匿名使用者
繞x軸時
圓環面積=π=π[e^(2x)-e^(-4x)]，0≤x≤1
體積=(0→1)∫π[e^(2x)-e^(-4x)]dx=(0→1)∫π*e^(2x)dx-(0→1)∫π*e^(-4x)dx=π/2*e^(2x)丨(0→1）+π/4*e^(-4x)丨(0→1)=π*[(e^2)/2+1/4*e^(-4)-3/4]
繞y軸時，兩曲線寫成x=lny和x=-1/2*lny。體積分成兩部分
直線y=1以下部分
圓環面積=π[1-(-1/2*lny)^2]=π[1-1/4*(lny)^2]，e^(-2)≤y≤1
體積=[e^(-2)→1]∫π[1-1/4*(lny)^2]dy=[e^(-2)→1]∫πdy-[e^(-2)→1]∫π/4*(lny)^2]dy=π/4*丨[e^(-4)→1]=π/4*[2-6*e^(-2)]
直線y=1以上部分
圓環面積=π[1-(lny)^2]=π[1-(lny)^2]，1≤y≤e
體積=(e→1)∫π[1-(lny)^2]dy=π
總體積=3π/2*[1-e^(-2)]
僅供參考
2樓：匿名使用者
y=e^x
y=e^(-2x)
x=1vx
= π∫(0->1) [(e^x)^2 - (e^(-2x))^2 ] dx
= π∫(0->1) [e^(2x) - e^(-4x) ] dx= π [ (1/2)e^(2x) + (1/4)e^(-4x) ] |(0->1)
=π [ (1/2)e^2 +(1/4)e^(-4) -1/2-1/4 ]
=π [ (1/2)e^2 +(1/4)e^(-4) -3/4 ]
微積分旋轉體繞y軸旋轉體積~我看不懂**上的公式~請大家分析下
3樓：諸葛小兔兔
看**，這個繞y軸的公式需要認真理解。將繞成的立體圖形隨便擷取一段切開後得到一小卷，將卷後是一段長方體，2xπ是其長，ᐃx是其寬，所以2xπ·△x是其面積，再乘f(x)就是長方體體積。最後將區間內的無數個這樣的小長方體積分即可。
參考圖示加強理解即可。望採納。
4樓：匿名使用者
取柱殼微元：半徑為(x+dx)的圓柱體摳掉半徑為x的圓柱體。柱殼微元體積就等於微元面積×高：
dv=ds×h=πr²h
h也就是f(x)。
先計算微元面積，把內部面積摳掉：
ds=π(x+dx)²-πx²
=2πxdx+(dx)²
其中(dx)²是dx項的高階無窮小，所以捨去。
dv=ds×f(x)=2πxf(x)dx
5樓：
將a到b的數軸等分成n分，每份寬△x
則函式繞y軸旋轉，每乙份的體積為乙個圓環柱，該圓環柱的底面圓的周長為2πx，所以底面面積約為2πx*△x該圓環柱的高為f(x)
所以當n趨向無窮大時，vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx
6樓：匿名使用者
我是理解成乙個捲筒紙，一捲的長度(乙個圓周2πx)×一捲的高f(x)×厚度dx
7樓：匿名使用者
沿x軸旋轉時 半徑=f(x) 圓的面積s=π[f(x)]^2dv=π[f(x)]^2dx
積分 vx=∫π[f(x)]^2dx
=π∫f(x)^2dx
沿y軸旋轉時 圓環的面積s=π(x+dx)^2-πx^2=π[(x+dx-x)(x+dx+x)]
=πdx*(2x+dx)
=2πxdx+π(dx)^2
因為 dx 無限小 所以 π（dx）^2 也是無限小所以上式就可以取 2πxdx
dv=2πxdx*f(x)=2πxf(x)dx積分 vy=∫2πx*f(x)dx=2π∫xf(x)dx
8樓：匿名使用者
積分= 無窮小體積的總和
將a到b的數軸等分成n分，每份寬△x, △x-->0, n--> 無窮大
則函式繞x軸旋轉，每乙份的體積為乙個圓柱
半徑=f(x) 圓的面積s=π[f(x)]^2,厚度= △x每乙份的體積 △v= π[f(x)]^2 *△x積分 vx= 無窮小體積△v 的總和= ∫π[f(x)]^2dx=π∫[f(x)]^2dx
函式繞y軸旋轉，每乙份的體積為乙個圓環柱，該圓環柱的底面圓的周長為2πx，
所以圓環底面面積約為2πx*[(x+△x)-x]= 2πx*△x該圓環柱的高為f(x)
每乙份的體積 △v= 2πx*f(x)*△x所以當n趨向無窮大時，
積分 vy=無窮小體積△v 的總和= ∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx
9樓：匿名使用者
確實不能解釋
正常應當是：大的圓柱體積（以b為底半徑，以f(b)為高）減去 中心的小圓柱體積（以a為底半徑，以f(a)為高）再減去 曲邊旋轉的體積（以f（a）為下限，以f(b)為上限，以y=f(x）的
逆函式的平方為積分函式）
樓上的解釋頗有道理，實際是具體的微元法，不過不好理解，主要是取近似。
10樓：
2xπ·△x是其面積，再乘f(x)就是長方體體積
11樓：乙個人在那看書
微淳風旋轉體燒油種季節，我看不懂上的公司必須要算出來
12樓：華者秋
對y軸旋轉可把旋轉體分成無數個厚度為δx的圓環體，每個這樣的圓環體的高度為f(x),體積為2πf(x)δx,再積分就是那個公式了。
13樓：匿名使用者
既然圓柱半徑之差是 △x＝x＋dx－x 那為什麼高就不是△y＝f(x＋dx)－f(x)而是直接預設等於0？？？why? 圓柱的半徑都沒忽略dx憑什麼圓柱的高要忽略 而且你們考慮過f(x)在某點的斜率為∞嗎 比如f(x)是圓心為座標原點的圓 此圓與x軸的右交點的x0斜率為∞ 難道x0處的△y可以忽略？
14樓：加賀
為什麼不用π×母線的平方
15樓：咔咔的
繞y軸旋轉，題目未說明f(x)的反函式的話不能直接用同計算x軸一樣的方法。但是可以轉化為求旋轉形成的面積的積分，即求s=2丌rh(h為f(x))在f(a)到f(b)上的定積分
微積分求旋轉體的體積（繞y軸旋轉）
16樓：看完就跑真刺激
做題過程如下圖所示：
先求出面積後進行積分在計算體積。
微積分是高等數學中研究函式的微分(differentiation)、積分(integration)以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的乙個基礎學科，內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。
微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函式、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
求圓盤（x-2）2+y2≤1繞y軸旋轉所成的旋轉體體積
17樓：
圓盤(x-2)^2+y^2≤1繞y軸旋轉所成的旋轉體體積為4π^2。
解：因為由(x-2)^2+y^2=1，可得，
x=2±√(1-y^2)。
又(x-2)^2+y^2≤1，那麼可得1≤x≤3，-1≤y≤1。
那麼根據定積分求旋轉體體積公式，以y為積分變數，可得體積v為，
v=∫(-1,1)(π*(2＋√(1-y^2))^2-π*(2-√(1-y^2))^2)dy
=8π∫(-1,1)√(1-y^2)dy
令y=sint，由於-1≤y≤1，那麼-π/2≤t≤π/2，那麼
v=8π∫(-1,1)√(1-y^2)dy
=8π∫(-π/2,π/2)costdsint
=4π∫(-π/2,π/2)(cos2t+1)dt
=4π∫(-π/2,π/2)1dt+2π∫(-π/2,π/2)(cos2t)d(2t)
=4π*(π/2-(-π/2))+2π*(sinπ-sin(-π))
=4π^2+0
=4π^2
擴充套件資料：
1、定積分∫(a,b)f(x)dx的性質
（1）當a=b時，∫(a,b)f(x)dx=0。
（2）當a>b時，∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。
（3）常數可以提到積分號前。即∫(a,b)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx。
2、定積分的解答方法
（1）換元積分法
如果f(x)∈c([a,b])，且x=ψ(t)在[α,β]上單值、可導，那麼當α≤t≤β時，a≤ψ(t)≤b，且ψ(α)=a，ψ(β)=b，則∫(a,b)f(x)dx=∫(α,β)f(ψ(t))*ψ′(t)dt。
（2）分部積分法
設u=u(x)，v=v（x)均在區間[a,b]上可導，且u′，v′∈r（[a,b])，則有分部積分公式為，
∫(a,b)uv′dx=uv(a,b)-∫(a,b)vu′dx。
3、利用定積分求旋轉體的體積
（1）找準被旋轉的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函式。
（2）分清端點。
（3）確定幾何體的構造。
（4）利用定積分進行體積計算。
18樓：北
據對稱性，所求旋轉體體積是上半圓盤繞y軸旋轉所成的旋轉體體積v1的2倍，因此
v＝2(∫10
πx22(y)dy?∫10
πx21(y)dy)
=2π∫
π/20
(2+cost)
costdt?2π∫
π/2π
(2+cost)
costdt
=2π∫π0
(2+cost)
costdt=4π2．
19樓：榕花麗潔心
上半圓：y1=2+√(1-x²); 下半圓：y2=2-√(1-x²);
v=2[∫π*y1²dx - ∫π*y2²dx](上式 上限為1，下限為-1)
=4*π* ∫[ (2+√(1-x²))² - (2-√(1-x²))² ]dx
(上式 上限為1，下限為0,以下相同)
=16*π*∫√(1-x²)dx
令x=sint dx=cost dt(以下式子上限為π/2，下限為0)
∴v=16*π*∫cos²tdt
=8*π*∫(cos2t+1)dt 二倍角公式=4*π*∫cos2t d(2t) + 8*π*∫dt=4*π²
求圓盤（x 2）2 y2 1繞y軸旋轉所成的旋轉體體積
圓盤 x 2 2 y 2 1繞y軸旋轉所成的旋轉體體積為4 2。解 因為由 x 2 2 y 2 1，可得，x 2 1 y 2 又 x 2 2 y 2 1，那麼可得1 x 3，1 y 1。那麼根據定積分求旋轉體體積公式，以y為積分變數，可得體積v為，v 1,1 2 1 y 2 2 2 1 y 2 2 ...
求下列曲線繞指定軸旋轉一周所圍成的旋轉體的體積
天國的階梯 採用定積分方法，先求出微體積，再做定積分。1 繞x軸旋轉時，微體積 dv y 2dx，或者 dv sinx 2dx，將dv在0到 之間對x做定積分，得到 v sinx 2dx 在0到 區間積分 1 cos2x 2dx 在0到 區間積分 0.5 2。即，給定函式，繞x軸旋轉得到的旋轉體體積...
繞y 1和繞x 1的旋轉體體積怎麼求？請詳解！謝謝
甜美志偉 如 空間曲線f x,y,z 0 繞z軸旋轉 1 解出x f z y g z 2 旋轉體的方程為 xx yy f z f z g z g z 其他同理 比如x y 1繞y軸旋 x y 1 y y 旋轉體的方程為 xx 1 y 1 y 體積為y 1 y。擴充套件資料 體積的常用單位 立方公尺 ...