證明：若（a，561）=1，則a的560次冪與模561對於1同餘
1樓：匿名使用者
首先證明尤拉定理：
尤拉定理內容：在數論中，尤拉定理（也稱費馬-尤拉定理）是乙個關於同餘。
的性質。尤拉定理表明，若n,a為正整數。
且n,a互質。
a,n) =1，則a^φ(n) ≡1 (mod n)
證明：首先證明下面這個命題：
對於集合zn=,其中xi(i=1,2,…φn))是不大於n且與n互素。
的數，即n的乙個化簡剩餘系，或稱簡系，或稱縮系)，考慮集合s =
則s = zn
1) 由於a,n互質，xi也與n互質，則a*xi也一定於n互質，因此。
任意xi，a*xi(mod n) 必然是zn的乙個元素。
2) 對於zn中兩個元素xi和xj，如果xi ≠ xj
則a*xi(mod n) ≠a*xj(mod n)，這個由a、n互質和消去律可以得出。
所以，很明顯，s=zn
既然這樣，那麼。
a*x1 × a*x2×..a*xφ(n)）(mod n)
a*x1(mod n) ×a*x2(mod n) ×a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
x1 × x2 × xφ(n)）(mod n)
考慮上面等式左邊和右邊。
左邊等於([a^φ(n)] x1 × x2 × xφ(n)）)mod n)
右邊等於x1 × x2 × xφ(n)）(mod n)
而x1 × x2 × xφ(n)(mod n)和n互質。
根據消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：
a^φ(n) ≡1 (mod n)
根據尤拉定理。
回頭看題目。
若（a，561）=1，則a的560次冪與模561對於1同餘。
無非令n=561 a,n互質 (a,n) =1 φ(n)=n-1
顯然a^φ(n) ≡a^n-1 ≡a^560≡1(mod 561)
2樓：o0木木木
由80=（3-1）*40=（11-1）*8=（17-1）*5 561=3*11*17（標準分解式的冪次均為1）
a^80（mod 3）與1同餘。
a^80(mod 11)與1同餘。
a^80(mod 17)與1同餘。
a^560=a^(80*7)(mod 561)與1同餘。a
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