1樓：
線性代特徵值的定義與性質這個是數學找一位懂得的數學老師來為您解答
2樓：匿名使用者
r(a)是a的非0特徵值的個數，既然r(a)=2,而a的特徵值又是0和1，當然是1,1,0
線性代數裡面那個特徵值有哪些性質？比如和或者乘積。
3樓：超級問答大師
比較詳細了，求採納，謝謝~~~~
(一) 矩陣的特徵值
定義5.1 設 為 階矩陣， 是乙個數，如果方程
（5.1）
存在非零解向量，則稱 為 的乙個特徵值，相應非零解向量 稱為與特徵值 對應的特徵向量.
將（5.1）式改寫為
（5.2）
即 元齊次線性方程組
（5.3）
此方程組存在非零解的充分必要條件為係數行列式等於零，即
定義5.2 設 為 階矩陣，含有未知量 的矩陣 稱為 的特徵矩陣，其行列式 為 的 次多項式，稱為 的特徵多項式， 稱為 的特徵方程.
是矩陣 的乙個特徵值，則一定是 的根，因此又稱特徵根.若 是 的 重根，則 稱為 的 重特徵值（根）.方程 的第乙個非零解向量，都是相應於 的特徵向量.
例1 求矩陣 的特徵值與特徵向量.
解：矩陣 的特徵方程為
化簡得所以 是矩陣 的兩個不同的特徵值.
以 代入與特徵方程對應的齊次線性方程組（5.3），得
它的基礎解系是 ，所以 是矩陣 對應於 的全部特徵向量.
同樣，以 代入與特徵方程對應的齊次線性方程組，得
它的基礎解系是 ，所以 是矩陣 對應於特徵值 的全部特徵向量.
例2 求矩陣
的特徵值和特徵向量.
解：矩陣 的特徵方程為
化簡得 ，所以 是矩陣 的特徵值，「1」是矩陣 的二重特徵值.
以 代入與特徵方程對應的齊次線性方程組，得
它的基礎解系是 ,所以 是矩陣 對應於 的全部特徵向量.
以 代入與特徵方程對應的齊次線性方程組，得
它的基礎解系是 ，所以 是矩陣 對應於二重特徵值 的全部特徵向量.
例3 求矩陣
的特徵值與特徵向量.
解：由得特徵值
當 有
它的基礎解系是 ，所以對於 ，矩陣 的全部特徵向量是
當 有它的基礎解系是向量 及 ，所以對於 ，矩陣 的全部特徵向量是
不全為零）
例4 求 階數值矩陣
的特徵值與特徵向量.
解：因為 ，因此， 的特徵值為
把 代入（5.3）：
這個方程組的係數矩陣是零矩陣，所以任意 個線性無關的向量都是它的基礎解系，取單位向量組 作為基礎解系，於是 的全部特徵向量為
不全為零）
(二) 特徵值與特徵向量的基本性質
定理5.1 階矩陣 與它的轉置矩陣 有相同的特徵值.
證：由 有
得 與 有相同的特徵多項式，所以它們的特徵值相同.
定理5.2 設 是 階矩陣，如果
（1）或(2)
有乙個成立，則矩陣 的所有特徵值 的模 小於1，即
定理5.3 階矩陣 互不相同的特徵值 ，對應的特徵向量 線性無關.
(三) 相似矩陣
定義5.3 設 、 為 階矩陣，如果有 階非奇異矩陣中存在，使得 成立，則稱矩陣 與 相似，記為 .
例如，則所以， ,即 .
定理5.4 如果 階矩陣 、 相似，則它們有相同的特徵值.
證：因得 、 有相同的特徵多項式，所以它們有相同的特徵值.
定理5.5 階矩陣 與 階對角矩陣 相似的充分必要條件為矩陣 有 個線性無關的特徵向量.
推論 若 階矩陣 有 個相異的特徵值 ，則 與對角矩陣 相似.
注意： 有 個相異特徵值只是 可化為對角矩陣的充分條件而不是必要條件.
定理5.6 階矩陣 與對角矩陣相似的充分必要條件是對於每乙個 重特徵根 ，矩陣 的秩是 （證明略）.
課後作業：
1、求下列矩陣的特徵值及特徵向量：
2、設矩陣 非奇異，證明 .
(四) 關於約當形矩陣的概念
由定理5.6可知，並不是所有 階矩陣都可與對角矩陣相似，但可以與一種極簡單矩陣——約當形矩陣相似.下面將敘述有關約當形矩陣的要領和一些定理，但對於定理不加以證明.
定義5.4 在 階矩陣 中，如果
即稱為約當塊.
如果乙個分塊對角矩陣的所有子塊都是約當塊，即
中 都是約當塊，則稱 為約當形矩陣，或稱約當標準形.
例如：都是約當塊.
都是約當形矩陣.
對角矩陣可看成每個約當塊都為一階的約當形矩陣.
定理5.7 任意乙個 階矩陣 ，都存在 階可逆矩陣 ，使得 ，即任意乙個 階矩陣 都與 階約當矩陣 相似（證明略）.
例如，矩陣
有兩個特證值 ，並僅有兩個線性無關特徵向量
所以它不與對角矩陣相似，但它與約當形矩陣
線性代數中矩陣的特徵值的概念是什麼？ 謝謝:-)
4樓：匿名使用者
設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax=mx 成立，則稱 m 是a的乙個特徵值或本徵值。非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱a的特徵向量或a的本徵向量。
線性代數中「特徵值」的含義是什麼？
5樓：
特徵值就是那個矩陣所對應的一元多次方程組的根
6樓：匿名使用者
根據定義，特徵值可以取代矩陣的作用，而變化效果一樣
7樓：藍田設計窟
另那個方程=0然後解出那個值就是``
線性代數特徵值計算方法
8樓：匿名使用者
咳咳。特徵表示存在乙個非零向量a，使得aa=人a，即（a-人e）a=0。而人的求法是令|a-人e|=0，從而求出人的。題目中a=
3 1 1
0 2 0
-4 -4 -2
所以|a-人e|=
3-人 1 1
diag 0 2-人0
-4 -4 -2-人
=-（人-2）^2(人+1)
令上式=0，得出人1=人2=2，人3=-1。記住2一定是重根，不能丟掉。摟著的做法也是正確的，只是把|a-人e|換成|人e-a|而已，沒有差別的。
9樓：匿名使用者
你按照3階行列式得到乙個行列式，並令它等於0，得到乙個關於人的三次方程，解這個三次方程就是特徵值
線性代數裡的特徵向量和特徵值的含義
10樓：毓良剛棋
線性代來
數是數學的乙個分自支，它的研究物件是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的乙個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。
由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。
特徵值是線性代數中的乙個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。
數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是乙個非退化的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。乙個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。
設a為n階矩陣，根據關係式ax=λx，可寫出(λe-a)x=0，繼而寫出特徵多項式|λe-a|=0，可求出矩陣a有n個特徵值（包括重特徵值）。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式，求解方程(λie-a)x=0，所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。
11樓：禹玉花索妝
特徵抄值和特徵向量是很重要的bai，可以說是矩陣的精髓。你du自學的話，榨一下看到這個
zhi定義，可能不知dao道他有什麼用。學到後面就知道它的用處有多大了。
我這裡稍微舉個例子：
求矩陣a的100次方。
這個你總不能去做100次矩陣乘法吧，這裡就用特徵值和特徵向量來算。
找到a的n個特徵值和n個特徵向量，用特徵值組成乙個對角陣t，把n個特徵向量放在一起組成乙個可逆陣p，於是a的100次方＝[p^(-1)]*(t^100)*p，t是對角陣，所以t的100次方只要把對角線元素取100次方就行了。
這就是矩陣特徵值和特徵向量的用處之一，你光看定義肯定是模模糊糊的，看到後面的應用就知道為什麼要這麼定義了。
線性代數特徵值？
12樓：匿名使用者
對於n階矩陣a，如果存在λ和非零n階向量x，使得：ax=λx，那麼λ就是特徵值，x是對應於λ的特徵向量。
求λi-a的行列式為0的解即是λ的取值，其中i為n階單位矩陣。λi-a的行列式即為特徵函式。
13樓：匿名使用者
行列式中已經有兩個元素為0，可以考慮按三階行列式直接，然後合併同類項，因式分解，求得特徵根。當然如果觀察力比較強，可以繼續對行列式進行化簡，如果沒有發現太明顯的規律，還是直接比較高效。
線性代數，特徵值 20
14樓：薔覓翠
乙個基本結論：矩陣所有特徵值的和為主對角線上元素的和。所以，兩個特徵值之和為 1+3=4
線性代數的特徵根和特徵向量的問題
k重根最多對應k個特徵向量,根據特徵向量的求法，是先求出特徵根a，再用它構造齊次線性方程組 ai a x 0，它的非零解就是特徵向量，因為ai a的秩大於等於n k，所以方程 ai a x 0的基礎解系等於n減ai a的秩，小於等於k 若a是a的k重特徵根,知道rank a a 大於等於n k，所以...
1 矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎2 相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關
吉長青藍壬 1 矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關證明如下 假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h，相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關，不妨設y mx，因此，得到ax kx ay hy hmx 即amx hmx 而根據有 amx kmx 得到 0 h k mx 由於特徵向量x非零向量，而h,k...
矩陣相似對角化，k重特徵值有k個線性無關的特徵向量，既然線性無關為什麼還要施密特正交化
閒庭信步 正交向量組一定是線性無關組，但線性無關組未必是正交向量組。實對稱矩陣的屬於不同特徵值的特徵向量必然是正交的，但屬於同一特徵值的線性無關向量組未必是正交的，所以對於同一特徵值的線性無關向量組需要正交化，再單位化，以便構造正交矩陣，使實對稱矩陣正交相似於對角矩陣，因為正交相似，即是相似，又是合...