1樓：吉長青藍壬
1、矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關證明如下：
假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h，相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關，不妨設y=mx，因此，得到ax=kx
ay=hy=hmx
即amx=hmx
而根據有
amx=kmx
-，得到
0=(h-k)mx
由於特徵向量x非零向量，而h,k兩個特徵值不相同，即h-k不為0則m=0，則y=mx=0，這與特徵向量非零向量，矛盾！
因此假設不成立，從而結論得證
2、相同特徵值對應的特徵向量不一定線性無關因為，某個特徵值的一個特徵向量的非零倍數，也是該特徵值的特徵向量但兩個特徵向量，因為是倍數關係，因此是線性相關的。
又例如，如果一個特徵值，相應特徵方程解出來，基礎解系中有多個解向量，這些解向量是線性無關的，且都是此特徵值的特徵向量。
2樓：營霞衷胭
是的，這是一個定理：矩陣的不同特徵值的特徵向量線性無關。準確的理解是：對每個不同特徵值各取一個特徵向量組成向量組，則這個向量組線性無關。請採納，謝謝！
同一特徵值對應的特徵向量線性無關嗎
3樓：是你找到了我
同一特徵值對應的特徵向量不一定線性無關；不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
1、計算的特徵多項式；
2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
3、對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定；反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。
4樓：匿名使用者
你好！提問不是很清楚，例如二階單位陣e的特徵值1有無窮多個特徵向量，其中任意三個以上的特徵向量都是線性相關的；但是，特徵向量(1,0)^t與(0,1)^t是線性無關的，而任何單獨一個特徵向量也是線性無關的。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
5樓：週三心盼
若a1,...,as 是a的屬於同一個特徵值的特徵向量則其非零線性組合 k1a1+...+ksas 也是a的屬於此特徵值的特徵向量
某個特徵值的全部特徵向量是對應齊次線性方程組的基礎解系的非零線性組合所以一般線性相關
“矩陣a有n個線性無關的特徵向量”是不是就等於說“矩陣a有n個不同的特徵值”？？
6樓：是你找到了我
“矩陣a有n個線性無關的特徵向量”不是就等於說“矩陣a有n個不同的特徵值”版。矩陣a有n個線性無關權的特徵向量時，不一定有n個不同的特徵值。
有n個復根λ1,λ2,…,λn，為a的n個特徵根。當特徵根λi(i=1,2,…,n)求出後，(λie-a)x=θ是齊次方程，λi均會使|λie-a|=0，(λie-a)x=θ必存在非零解，且有無窮個解向量，(λie-a)x=θ的基礎解系以及基礎解系的線性組合都是a的特徵向量。
7樓：匿名使用者
並不是。同一個特徵值可以對應多個線性無關的特徵向量。
舉個例子：
a=1 0 0
0 1 0
0 0 3
那麼（1，62616964757a686964616fe4b893e5b19e313334313533380，0）^t，（0，1，0）^t，（0，0，1）^t是a的三個線性無關的特徵向量，但是a只有1、3兩個不同特徵值（前兩個特徵向量都是屬於特徵值1的）
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax=mx 成立，則稱 m 是a的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。
非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱a的特徵向量或a的本徵向量。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
第一步：計算的特徵多項式；
第二步：求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
第三步：對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組：
的一個基礎解系，則的屬於特徵值的全部特徵向量是（其中是不全為零的任意實數）．
[注]：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定．反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值.
8樓：匿名使用者
答：是的屬於不同特徵值的特徵向量線性無關, 這是定理.若a是實對稱矩陣, 則a的屬於不同特徵值的特徵向量正交.
9樓：匿名使用者
並不是。。復。同一個特製徵值可以對應多個線性無bai關的特徵向量。舉du
個例子：a=
1 0 0
0 1 0
0 0 3
那麼zhi（1，dao0，0）^t，（0，1，0）^t，（0，0，1）^t是a的三個線性無關的特徵向量，但是a只有1、3兩個不同特徵值（前兩個特徵向量都是屬於特徵值1的）
10樓：匿名使用者
不同的不同特徵值特徵向量線性無關，這是定理。
屬於同一矩陣的不同特徵值的特徵向量線性無關，那麼如果a，b矩陣具有相同的互異特徵值，那麼a相似於b對嗎
11樓：匿名使用者
準備知識：
1、相似的定義為:對n階方陣a、b,若存在可逆矩陣p,使得p^(-1)ap=b,則稱a、b相似.
2、從定義出發,最簡單的充要條件即是:對於給定的a、b,能夠找到這樣的一個p,使得:p^(-1)ap=b;或者:
能夠找到一個矩陣c,使得a和b均相似於c.3、進一步地,如果a、b均可相似對角化,則他們相似的充要條件為:a、b具有相同的特徵值.
4、再進一步,如果a、b均為實對稱矩陣,則它們必可相似對角化,可以直接計算特徵值加以判斷(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
對於本題：
屬於同一矩陣的不同特徵值的特徵向量線性無關，說明他們都可以對角化。
那麼只要他們的特徵值是一樣的，那麼就是相似了。
“a，b矩陣具有相同的互異特徵值”這句話回答了！！
所以，他們是相似的！
對於a是否相似b，基本套路就是先看他們能否對角化，如果能，那麼再看他們特徵值是否相等！
屬於同一特徵值的特徵向量也線性無關麼
12樓：是你找到了我
同一特徵值對應的特
徵向量不一定線性無關；不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
1、計算的特徵多項式；
2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
3、對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定；反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。
13樓：憑樂令利
書本上之所以只談論不同特徵值的特徵向量線形無關是因為：對於同一特徵值對應不同特徵向量的求法實質為求方程組基礎解系的問題，基礎解系最重要特點就是線性無關，編書人覺得這個是很自然的情況也就沒有單獨列出來
14樓：匿名使用者
不能這麼說。。屬於不同特徵值的向量分別有無數個，但你隨便分別挑兩個都是線性無關的。而屬於同一個特徵值的向量同樣有無數個，並不是每兩個都線性無關。
你要去解它的基礎解繫到底有幾個線性無關的向量。不知道這麼說樓主能不能明白。
15樓：匿名使用者
屬於不同特徵值的向量分別有無數個，但你隨便分別挑兩個都是線性無關的。而屬於同一個特徵值的向量同樣有無數個，並不是每兩個都線性無關。你要去解它的基礎解繫到底有幾個線性無關的向量。
例如二階單位陣e的特徵值1有無窮多個特徵向量，其中任意三個以上的特徵向量都是線性相關的；但是，特徵向量(1,0)^t與(0,1)^t是線性無關的，而任何單獨一個特徵向量也是線性無關的。
特徵向量的基本資訊：
數學上，線性變換的特徵向量(本徵向量)是一個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值(本徵值)。一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。"特徵"一詞來自德語的eigen。2023年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。
eigen一詞可翻譯為"自身的"、"特定於……的"、"有特徵的"、或者"個體的"。這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換有多重要。
中文名稱
特徵向量
外文名稱
eigenvector
線性無關的基本資訊：
如何證明一個矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關，是不是很麻煩過程
16樓：天龍八部大結局
以兩個為例，顯然兩個向量線性相關意味著相差一個常數倍。
然而某個特徵值的特徵向量的非零常數倍仍然是這個特徵值所對應的特徵向量。
這就與特徵值不同相矛盾。更多證明如圖
1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關
17樓：小樂笑了
1、矩陣不同
的特徵值對應的特徵向量一定線性無關
證明如下：
假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h，相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關，不妨設y=mx，因此，得到ax=kx【1】
ay=hy=hmx
即amx=hmx【2】
而根據【1】有
amx=kmx【3】
【2】-【3】，得到
0=(h-k)mx
由於特徵向量x非零向量，而h,k兩個特徵值不相同，即h-k不為0則m=0，則y=mx=0，這與特徵向量非零向量，矛盾！
因此假設不成立，從而結論得證
2、相同特徵值對應的特徵向量不一定線性無關因為，某個特徵值的一個特徵向量的非零倍數，也是該特徵值的特徵向量但兩個特徵向量，因為是倍數關係，因此是線性相關的。
又例如，如果一個特徵值，相應特徵方程解出來，基礎解系中有多個解向量，這些解向量是線性無關的，且都是此特徵值的特徵向量。
18樓：你好丶吊
特徵值不同 是 特徵向量線性無關的 充分不必要條件。
1.充分條件很容易理解。
2.必要條件的理解。
由對稱矩陣的性質可得：k重特徵值必有k個線性無關的特徵向量。
也就是說：對於對稱矩陣，無論有沒有相同的特徵值，它的特徵向量都是線性無關的。所以由後邊不能推到前邊。
19樓：2048人
1. 是
2. 可能會
設為n階對稱矩陣A的對應於特徵值的特徵向量,求矩陣 P 1 AP T對應於特徵值的特徵向量
玄色龍眼 為書寫簡便，將p轉置記作q 令 q p 1 ap t qa q 1 p 1 ap t qa q 1 q qa q 所以它的對應於特徵值為 的特徵向量為 即 p t 若t不等於1，那麼令n 1，p i，則a 可以看出 p 1 ap t無關於 的特徵向量，只有 t為特徵值 題意知p可逆 且t ...
求解該矩陣的特徵值和對應的特徵向量
隗熙 設特徵值為t，特徵向量為x，單位矩陣記為e，原矩陣記為a 由特徵值的定義，有ax tx，即 te a x 0 我們知道特徵向量是非零的。而上述方程要有非零解，必須滿足 te a 不可逆 否則我們在方程兩邊同時乘以 te a 的逆矩陣，就得到x 0，方程就只有零解了，這是我們所不希望的 而 te...
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嶽恆羊緞 若x是a的屬於特徵值a的特徵向量則x 是 a ae x 0 的非零解 若a 0 原矩陣的基礎解系是屬於特徵值a的特徵向量 你是不是遇到什麼具體問題了 把原題拿來,我幫你看看 向丹塞妍 這涉及到矩陣是否可以對角化的問題 如果矩陣的特徵值的重數等於它對應的特徵向量的基礎解系裡向量的個數，這個矩...