1樓：匿名使用者
1、群(group)是兩個元素作二元運算得到的乙個新元素，需要滿足群公理(group axioms)，即：
①封閉性：a ∗ b is another element in the set
②結合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
③單位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a
④逆 元：加法的逆元為-a，乘法的逆元為倒數1/a，… (對於所有元素)
⑤如整數集合，二次元運算為加法就是乙個群(封閉性是顯然的，加法滿足結合律，單位元為0，逆元取相反數-a)。
2、環(ring)在阿貝爾群(也叫交換群)的基礎上，新增一種二元運算·(雖叫乘法，但不同於初等代數的乘法)。乙個代數結構是環(r, +, ·)，需要滿足環公理(ring axioms)，如(z,+, ⋅)。環公理如下：
①(r, +)是交換群
封閉性：a + b is another element in the set
結合律：(a + b) + c = a + (b + c)
單位元：加法的單位元為0，a + 0 = a and 0 + a = a
逆 元：加法的逆元為-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (對於所有元素)
交換律：a + b = b + a
②(r, ·)是么半群
結合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
單位元：乘法的單位元為1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a
③乘法對加法滿足分配律multiplication distributes over addition
3、域(field)在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法，要求元素(除零以外)可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。
由此可見，域是一種可以進行加減乘除(除0以外)的代數結構，是數域與四則運算的推廣。整數集合，不存在乘法逆元(1/3不是整數)，所以整數集合不是域。有理數、實數、複數可以形成域，分別叫有理數域、實數域、複數域。
2樓：阿笨
群、環、域都是滿足一定條件的集合，可大可小，可可數 也可 不可數，乙個元素可以是群『0』，三個也可以『0，1，-1』，可數的：以整數為係數的多項式（可以驗證也是環），當然r也是；環不過是在群的基礎上加上了交換律和另外一種運算，域的條件更強（除0元可逆），常見的一般是數域，也就是：整數，有理數，實數，複數。
其實環和域上所謂的乘法不一定就是通常說的乘法，例子相信你的書上應該有，我們只是叫它乘法而已。 只能說到這兒了，你應該是想知道一些具體的例子，定義應該是蠻清楚的。
群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質。群上定義乙個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元） 例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數， 正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數 環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。另外環上還有乙個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫。
例整數集上加法和乘法。 域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元。 例整數集上加法和乘法，單位元0,1。
迴圈群+群生成元：如果存在乙個元素a屬於g，對任一屬於g的元素b，都存在乙個整數i>=0，使得b=a^i，則群g就稱為迴圈群,元素a稱為g的乙個生成元，g也稱為由a生成的群。當乙個群由a生成的時候，記做g=。
有限群g中元素個數稱為g的階，記為#g。
阿貝爾群是交換群，即有群中元素a*b=b*a，*是群操作。
3樓：佛伶俐
看了樓上的說法，我來說說個人理解
首先說說對問題的理解
1、樓主問群、域、環等，這個等還包括什麼？包括模與同調嗎？包括序和格嗎？問題沒有說清楚
2、單就群、域、環來說，這幾個概念，每乙個都有很多範疇，樓主具體想知道什麼群、什麼環呢？群包括交換群（**）、置換群、典型群、半群、代數群、組合群、計算群、李群、拓撲群等等，每個群的性質都不太一樣，樓主你問的是哪個群呢？環包括群環、分次環、半環、微分運算元環、擬環等等，樓主又問的是哪個環呢？
基於對問題提的模糊不清，我只說群基本定義、交換群（一種常見的重要群）、結合環（環的主要研究物件）、域的基本定義，說說三者的區別和聯絡
概念如下：
1、群，域，環都是代數系統（非空集合+運算+規則）
2、群的定義=[非空集合v]+[乙個稱之為「乘法」的二元運算（對v中任意a，b，ab=c屬於v）]+[結合律、單位元ae=ea=a、逆元aa-1=e]
3、交換群就是上面的群還滿足交換律，也稱作**，ab=ba 此時單位元用0表示，稱作零元
4、為了知道環，先說說半群，半群就是上面的群只滿足結合律即可，那麼環=[非空集合v]+[兩個二元運算（乙個稱之為加法，乙個稱之為乘法）]+[v對加法構成交換群（**），v對乘法構成半群，乘法對加法滿足分配律]
5、域=[非空集合v]+[兩個二元運算（乙個稱之為加法，乙個稱之為乘法）]+[v對加法構成交換群，v對乘法是非零元構成交換群，乘法對加法滿足分配律]
由以上定義可以看出
1、群是含乙個二元運算，由單位元和逆元，而交換群（**）是還要滿足交換律，半群是群的擴充套件，只滿足結合律
2、環是兩個二元運算、對加法構成**，對乘法構成半群，滿足分配律
3、域是兩個二元運算，對加法構成**，對乘法構成非零元的交換群，滿足分配律
注意半群是群的擴充套件，自然包括交換群，用一句形象的話來說（僅對上面的定義），群最小、域其次、環最大
我看有人回答「域是在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法」這句話是不對的，域定義中沒有除法運算這個概念，環和域中都有乘法運算自然也就包括了除法這個逆運算，這句話可以這樣說，交換環和域是等價的，因為交換環對乘法構成的是交換群，而不是半群，
此外補充一下，數環、數域的定義
數環：特殊數集、複數集的非空子集p中如果和、差、乘積仍屬於p，那麼p稱為數環
數域：特殊數集、複數集的非空子集p中如果和、差、乘積、商（除數不含0）仍屬於p，那麼p稱為數域
由此可見數環、數域只是以數為集合的概念，而與抽象代數中環、域是有些區別的，後者更加廣義
4樓：ゞ流╃辰
這是抽象代數的內容:
集合是基本概念,相當於一類/一堆/全體/...你該理解，不說了。
群是特殊的集，在它上面可以定義一種運算（通常叫做「乘法」，但跟數的乘法無必然聯絡），要封閉/可結合/有單位元（類似乘1/加0）/有逆元（類似乘倒數/加相反數）...
例如，正有理數是乘法群，非零有理數也是乘法群，整數集在加法下成群。
注意，群不要求交換律，如果滿足交換律，叫阿貝爾群（或加法群）。
環和域的要求就更高了，不必給你講抽象的，只在數的範圍內討論：
在加/減/乘下封閉的數集是數環，如果數環在除法下也封閉，就叫數域。
某數的倍數全體（包括負的）成一數環，有理數集是最小的數域，實數集/複數集也是數域。
更深的內容參見大學課本，抽象代數/近世代數之類......
請問下高等代數裡面線性空間、域和環之間是什麼關係啊? 5
5樓：醉眼看花
1、向量空間又稱線性空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。在解析幾何裡引入向量概念後，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯絡的向量空間概念。譬如，實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間，在代數上處理是方便的。
單變元實函式的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間，研究此類函式向量空間的數學分支稱為泛函分析。
2、環，設g是非空集合，在g上定義加法+和乘法·兩種運算，如果滿足：
(1) (g，+)是交換群(阿貝爾群)；
(2) (g，-)是半群；
(3) 乘法對加法適合左、右分配律，即對「a,b,cî；
g有a·(b+c)=a·b+a·c (a+b)·c=a·c+b·c則代數系統(g，+，-)為環.
3、域 設(s,+,·)是代數系統，如果滿足：
(1) (s，+)是交換群；
(2) (s－，·)是交換群；
(3) 運算·對運算+是可分配的。
則(s,+,·)為域。
交換除環是域。
6樓：匿名使用者
線性空間是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構成此集合內的另一元素，任意元素與任意數（可以是實數也可以是複數，也可以是任意給定域中的元素）相乘後得到此集合內的另一元素。
7樓：殘墨葉安錦
域和環都是建立在集合上的，準確的說是建立在群上，首先得是群，才能談得上域和環，詳細見《抽象代數》
定義域和R有什麼區別，定義域 , 和R有什麼區別
沒區別的 表示從正無窮到負無窮，也就是整個實數域。r也是表示實數。平時用 的情況比較多一點，習慣性問題，呵呵。 小娜 是乙個區間 r是所有實數的集合的縮寫 都是指所有實數 5f 7f說的什麼呢，有沒有學過呀，實數概念都不知道。和r根本沒有區別 實數集r可以用區間表示為 和實數集是同一種東西的不同表現...
這個「群」和這個「群」有什麼區別麼
生活娃娃生活能手 同字異形體，不同的寫法而已。意思相同。一 群拼音 q n，部首 羊，筆畫 13，部外筆畫 7，繁體 群，五筆 vtkd，筆順 橫折 橫 橫 撇 豎 橫折 橫 點 撇 橫 橫 橫 豎。q n 聲母 q，韻母 un，聲調 第二聲。釋義 1 聚在一起的人或物。2 眾多的人。3 成群的。4...
vc 和c 有什麼區別，VC 與C 有什麼區別和聯絡？
c 是一種標準 一般由ansi來規範 vc 是一種實際存在的語言，由微軟公司設計開發。 microsoft visual c 簡稱visual c msvc vc 或vc 微軟公司的c 開發工具，具有整合開發環境，可提供編輯c語言，c 以及c cli等程式語言。c 是一種使用非常廣泛的計算機程式語言...