1樓：匿名使用者
簡單證一下
a0=1
a1=1/2
a2=1/3+1/4>2*1/4=1/2
a3=1/5+1/6+1/7+1/8>4*1/8=1/2a4=1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16>8*1/16=1/2
...如此下去,an是n項的和,
且每一項都大於1/2.
則sn>a0+a1+a2+a3+a4+....
看出來了吧?
2樓：梅花香如故
有多種判別方法，給出兩種：
第一種，sn=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+……
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……
＝1+1/2+1/2+1/2+……
當然是發散級數
第二種利用柯西收斂原理來證明：任給ε<1/2abs(s2n-sn)=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)>1/(n+n)+1/(n+n)+……+1/(n+n)=n/(n+n)=1/2>ε
為什麼級數1/n是發散的？
證明級數1+2+3+.+n+……是發散的 5
3樓：匿名使用者
其部分和數列顯然無界，因此是發散級數
4樓：匿名使用者
還用證明嗎？由於其部分和
sn = 1+2+…+n = n(n+1)/2→ ∞ (n→∞)，
所以原級數發散。
高數。級數1/n(n從1開始到無窮)為什麼是發散的？？
5樓：我是乙個麻瓜啊
級數1/n，n從1開始到無窮：
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...大於1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
因為：1 +1/2＞1/2+1/2，1/3 +1/4＞1/4+1/4，1/5+ 1/6+1/7+1/8＞1/8+1/8+1/8+1/8。
注意後乙個級數每一項對應的分數都小於調和級數中每一項，而且後面級數的括號中的數值和都為1/2，這樣的1/2有無窮多個，所以後乙個級數是趨向無窮大的，進而調和級數也是發散的。
6樓：匿名使用者
假設∑1/n收斂,記部份和為sn,且設lim(n→∞)sn=s於是有lim(n→∞)s(2n)=s,有lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0
但是s(2n)-sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2,與lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0矛盾
所以級數∑1/n是發散的
7樓：阿亮臉色煞白
記s[n]=1+1/2+...+1/n。假設它收斂到s。
可見，s[2n]=s[n]+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>s[n]+1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)
=s[n]+n/(2n)=s[n]+1/2.
兩邊讓n→∞得到s=s+1/2，無解。所以它是發散的。
8樓：幸運的皮皮瞎
可以放縮一下，再用判別法。n＞0時有n＞ln（n+1）則有1/n＞ln（1/n+1）＝ln［（n+1）/n］。∑ln［（n+1）/n］＝ln（2/1）+ln（3/2）+……+ln［（n+1）/n］＝ln2-ln1+ln3-ln2+……+ln(n+1)-lnn＝ln(n+1)。
當n趨於正無窮的時候ln(n+1)＝∞。則∑ln［（n+1）/n］發散。再由正項級數斂散性判別法可知∑（1/n）也發散
9樓：小情歌
他本身是乙個發散級數啊
為什麼1/n是發散的
10樓：
「級數∑1/n，n=1,2，……，∞」是發散的。其證明過程可以是，∵∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+……=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+……+1/8)+(1/9+……+1/16)+(1/17+……+1/32)+……>1+1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)……=1+m/2+……，
當n→∞時，m→∞，1+m/2→∞發散。∴級數∑1/n發散。
19世紀前，尤拉以及其他數學家廣泛地應用發散級數，但經常引出令人困惑與矛盾的結果。其中，主要的問題是尤拉的思想，即每個發散級數都應有乙個自然的和，而無需事先定義發散級數的和的含義。柯西最終給出了（收斂）級數的和的嚴格定義，從這過後的一段時間，發散級數基本被排除在數學之外了。
直到2023年，它們才在龐加萊關於漸進級數的工作中再次出現。在2023年，切薩羅意識到可以對一類發散級數的和給出嚴格定義，從而定義了切薩羅和。
11樓：匿名使用者
1/n為什麼是發散的？
當n趨向於無窮時1/n趨近於零，那為什麼它的級數是發散的呢？
可以用反證法來證。 假設它收斂，它的部分和sn趨於s，那麼，它的部分和s2n也趨於s， 所以s2n-sn=0（當n趨於無窮時）。但s2n-sn=1/（n+1)+1/(n+2)+...
+1/2n>n*1/2n=1/2,因此s2n-sn不趨向於零（當n趨於無窮時），這與假設矛盾， 所以原級數發散。
sn=1+1/2+1/3+1/4+......+1/n這個怎麼求和的？
12樓：假面
求不了，調和級數s=1+1/2+1/3+……是發散的，證明如下：
由於ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以sn的極限不存在，調和級數發散。
但極限s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因為
sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此sn有下界
而sn-s(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以sn單調遞減。由單調有界數列極限定理，可知sn必有極限，因此
s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
於是設這個數為γ，這個數就叫作尤拉常數，他的近似值約為0.57721566490153286060651209，目前還不知道它是有理數還是無理數。在微積分學中，尤拉常數γ有許多應用，如求某些數列的極限，某些收斂數項級數的和等。
例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
擴充套件資料：
隨後很長一段時間，人們無法使用公式去逼近調和級數，直到無窮級數理論逐步成熟。2023年牛頓在他的著名著作《流數法》中推導出第乙個冪級數：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
euler(尤拉)在2023年，利用newton的成果，首先獲得了調和級數有限多項和的值。結果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)
他的證明是這樣的：
根據newton的冪級數有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
於是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n，就給出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...
+1/n^3) + ......
後面那一串和都是收斂的，我們可以定義
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
euler近似地計算了r的值，約為0.5772156649。這個數字就是後來稱作的尤拉常數。
13樓：匿名使用者
求不了，這個是發散的。沒有極限，就是說可以加到正無窮，沒辦法表示 最佳答案它是實數，所以它不是有理數就是無理數，而上兩層的人說「談不上到底是無理數還是有理數」的說法顯然是錯誤的。而根據種種依據可判斷它是無理數。
具體證明過程如下： 首先我們可以知道實數包括有理數和無理數。而有理數又包括有限小數和無限迴圈小數，有理數都可以劃成兩個有限互質整數相除的形式（整數除外）。
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無限大)通分以後的分子和分母都是無窮大，不是有限整數，且不能約分，所以它不屬於有理數，因此它是無理數。 其實無窮個有理數相加未必就是有理數，而有可能等於無理數。
我可以舉個很簡單的例子。 圓周率pi=3.1415926...
是個無理數大家都知道吧，我可以把它分解成pi=3+0.1+0.04+0.
001+0.0005+...的形式，等號右側的每一項都是有理數，那麼我們能說pi是有理數嗎？
當然不能。所以無窮個有理數相加可能是無理數。 那麼為什麼我說1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
+1/n (n為無限大)是無理數而不是有理數呢？我再從一種角度給你證明。 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
+1/n (n為無限大)是乙個無窮小數你承認吧，不然我們討論有理數還是無理數就沒什麼意義了。無限迴圈小數都有迴圈節，所以無限迴圈小數都可以根據等比數列知識劃成兩個互質整數相除的形式。 而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
+1/n (n為無限大)不存在迴圈節，不可能根據等比數列知識劃成兩個互質整數相除的形式。所以它終究是無理數。 這是有名的調和級數，應該是高數中的東西，這題目用n!
無濟於事的 當n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是個發散級數 當n很大時，有個近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
+1/n=γ+ln(n) γ是尤拉常數，γ=0.57721566490153286060651209... ln(n)是n的自然對數（即以e為底的對數，e=2.
71828...）
為什麼11 N 是發散而11 N 2 是收斂
汗 如果級數從2開始，也是發散的。由cauchy判別法，此級數收斂等價於從2到無窮對1 xlnx 的積分收斂。積分1 xlnx 有原函式f x lnlnx,顯然它發散。關於級數 n由1 n 2 e n 1 2 的收斂問題 比較判斂法 an bn 0，若 bn 收斂，則 an 收斂。若 bn 為調和級...
為什麼調和級數是發散的
證明1 比較審斂法 因此該級數發散。2 積分判別法 通過將調和級數的和與一個瑕積分作比較可證此級數發散。考慮右圖中長方形的排列。每個長方形寬1個單位 高1 n個單位 換句話說，每個長方形的面積都是1 n 所以所有長方形的總面積就是調和級數的和 矩形面積和 而曲線y 1 x以下 從1到正無窮部分的面積...
2n 1 n的極限為什麼是， 2n 1 n的極限為什麼是
2n 1 n 2n n 1 n大於等於2倍的跟號下1，所以極限為2 應用洛必達法則,2n 1 n的極限即lim 2n 1 n,n 無窮大 分子分母都是趨於無窮大的數,所以可以用洛必達法則對分子分母求導lim 2n 1 n lim2 1 2.2n 1 n 2 1 n 當n趨向於無窮大時，1 n極限是0...