1樓：匿名使用者
在數學領域，希爾伯特空間是歐幾里德空間的乙個推廣，其不再侷限於有限維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是乙個內積空間，其上有距離和角的概念（及由此引伸而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是乙個完備的空間，其上所有的柯西列等價於收斂列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。
希爾伯特空間為基於任意正交系上的多項式表示的傅利葉級數和傅利葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數學和量子力學的關鍵性概念之一。
在乙個復向量空間h上的給定的內積 < .,. > 可以按照如下的方式匯出乙個範數（norm）：
此空間稱為是乙個希爾伯特空間，如果其對於這個範數來說是完備的。這裡的完備性是指，任何乙個柯西列都收斂到此空間中的某個元素，即它們與某個元素的範數差的極限為0。任何乙個希爾伯特空間都是巴拿赫空間，但是反之未必。
任何有限維內積空間（如歐幾里德空間及其上的點積）都是希爾伯特空間。但從實際應用角度來看，無窮維的希爾伯特空間更有價值，例如
*酉群（unitary group）的表示論。
*平方可積的隨即過程理論。
*偏微分方程的希爾伯特空間理論，特別是狄利克雷問題。
*函式的譜分析及小波理論。
*量子力學的數學描述。
內積可以幫助人們從「幾何的」觀點來研究希爾伯特空間，並使用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無窮維拓撲向量空間中，希爾伯特空間性質最好，也最接近有限維空間的情形。
傅利葉分析的乙個重要目的是將乙個給定的函式表示成一族給定的基函式的和（可能是無窮和）。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何乙個希爾伯特空間都有一族標準正交基，而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基中的元素或其倍數的和。
2樓：hs_虛幻的碎片
實數域或複數域f上的線性空間v上如果有乙個雙線性函式f:vxv——>f，滿足正定性對稱性，則稱(v,f)為乙個內積空間。內積可以誘導乙個度量d(v,w)=f(v-w,v-w)，如果這個度量是完備的，即任意柯西列收斂，則稱(v,f)為乙個希爾伯特空間