1樓：幸運的森林深處
容斥原理是在計數時，必須注意沒有重複，沒有遺漏。為了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法。
這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為容斥原理。
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容斥原理舉例：
例如：一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，並且有4人語、數都是滿分，那麼這個班至少有一門得滿分的同學有多少人。
分析：依題意，被計數的事物有語、數得滿分兩類，“數學得滿分”稱為“a類元素”，“語文得滿分”稱為“b類元素”，“語、數都是滿分”稱為“既是a類又是b類的元素”，“至少有一門得滿分的同學”稱為“a類和b類元素個數”的總和。為15+12-4=23。
2樓：傾蓋如故
這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為容斥原理。
如果被計數的事物有a、b、c三類，那麼，a類和b類和c類元素個數總和= a類元素個數+ b類元素個數+c類元素個數—既是a類又是b類的元素個數—既是a類又是c類的元素個數—既是b類又是c類的元素個數+既是a類又是b類而且是c類的元素個數。
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兩個集合的容斥關係公式：a∪b =|a∪b| = |a|+|b| - |a∩b |(∩：重合的部分）
三個集合的容斥關係公式：|a∪b∪c| = |a|+|b|+|c| - |a∩b| - |b∩c| - |c∩a| + |a∩b∩c|
簡單來說要計算幾個集合並集的大小，要先將所有單個集合的大小計算出來，然後減去所有兩個集合相交的部分，再加回所有三個集合相交的部分，再減去所有四個集合相交的部分，依此類推，一直計算到所有集合相交的部分。
3樓：zc盛
容斥原理
容斥原理
在計數時，為了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為容斥原理。
容斥原理（1）
如果被計數的事物
有a、b兩類，那麼，a類或b類元素個數= a類元素個數+
b類元素個數—既是a類又是b類的元素個數。
例1一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，並且有4人語、數都是滿分，那麼這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？
分析：依題意，被計數的事物有語、數得滿分兩類，“數學得滿分”稱為“a類元素”，“語文得滿分”稱為“b類元素”，“語、數都是滿分”稱為“既是a類又是b類的元素”，“至少有一門得滿分的同學”稱為“a類或b類元素個數”的總和。
試一試：某班學生每人家裡至少有空調和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調的有41人，有電腦的有34人，二者都有的有27人，這個班有學生多少人？（並說一說你的想法。）
容斥原理（2）
如果被計數的事物有a、b、c三類，那麼，a類或b類或c類元素個數= a類元素個數+
b類元素個數+c類元素個數—既是a類又是b類的元素個數—既是a類又是c類的元素個數—既是b類又是c類的元素個數+既是a類又是b類而且是c類的元素個數。
例2某校六（1）班有學生54人，每人在暑假裡都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人，問：三項都參加的有多少人？
分析：仿照例1的分析，你能先說一說嗎？
例3 在1到1000的自然數中，能被3或5整除的數共有多少個？不能被3或5整除的數共有多少個？
分析：顯然，這是一個重複計數問題（當然，如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數，5的倍數）。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成a類元素和b類元素，能“同時被3或5整除的數（15的倍數）”就是被重複計算的數，即“既是a類又是b類的元素”。
求的是“a類或b類元素個數”。現在我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數有333個（想一想，這是為什麼？
）同理，可以求出其他的條件。
例4 分母是1001的最簡分數一共有多少個？
分析：這一題實際上就是找分子中不能整除1001的數。由於1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數。
例5某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個專案的測試後，有4名學生在這三個專案上都沒有達到優秀，其餘每人至少有一項達到了優秀，達到了優秀的這部分學生情況如下表：
短跑游泳投擲短跑、游泳短跑、投擲游泳、投擲短路、游泳、投擲
1718156652
求這個班的學生共有多少人？
分析：這個班的學生數，應包括達到優秀和沒有達到優秀的。
試一試：一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術組的有25人，有5人什麼都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？
例6在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？
分析：很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎上加1就是段數了。
若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重複的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。
所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數的事物有那幾類？
每一類的元素個數是多少？
4樓：匿名使用者
容斥原理
容斥原理常常使用，其實說簡單點，就是從多的往下減，減過頭了在加回來，又加多了再減，減多了再加……，最終得到正確結果。對於計數中容易出現重複的題目，我們常常採用容斥原理，去掉重複的情況。
基本情況的公式見**。。
|a|表示a集合中元素的個數。。
5樓：大連小宋老師
容斥原理，是求解陰影部分面積中非常重要的一種方法。
6樓：張老師**課堂
人教版數學三年級上期末考試題，求三（1）班有多少人？只參加賽跑的有多少人？此題考察的是“容斥原理”，題目雖然簡單，可利用“文氏圖”去直觀的理解，但基本思想還是需要同學們掌握好，以便應對複雜類似問題。
7樓：楚昱庫敏叡
容斥原理---簡單的說，就是先【容許】再【排斥】容斥原理1：兩個研究物件a，b，有：
a∪b=a+b-a∩b
===＞a集合和b集合所有的元素=屬於a集合的元素+屬於b集合的元素-既屬於a集合又屬於b集合的元素
容斥原理2，三個研究物件a，b，c，有：
a∪b∪c=a+b+c-a∩b-b∩c-c∩a+a∩b∩c意思與上面一樣，無需贅述
8樓：埃尼阿克
主要就是初等集合論那部分的
集合的交 並 補 這些
我們學的多數是計算集合內的元素
比如說什麼一個班多少人 數學滿分多少人 語文滿分多少人 語文數學都滿分多少人 讓你算有多少人兩科都不滿分的 這類
要不就是什麼 參加什麼比賽的多少人 參加什麼比賽的多少人 都參加多少人 至少參加一項的多少人 這類的~
9樓：摯愛魔傑座
在計數時，必須注意無一重複，無一遺漏。為了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為容斥原理。
10樓：香彥滑英華
容斥原理:
在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算。我們用|a|表示有限集合a的元素個數。
原理一：給定兩個集合a和b，要計算a∪b中元素的個數，可以分成兩步進行：
第一步：先求出∣a∣+∣b∣（或者說把a，b的一切元素都“包含”進來，加在一起）；
第二步：減去∣a∩b∣（即“排除”加了兩次的元素）
總結為公式：|a∪b|=∣a∣+∣b∣-∣a∩b∣。
原理二：給定三個集合a，b，c。要計算a∪b∪c中元素的個數，可以分三步進行：
第一步求|a|+|b|+|c|；
第二步減去|a∩b|，|a∩c|，|b∩c|；
第三步加上|a∩b∩c|。
多個集合依次類推。
一道很難的「容斥原理」的題請教各位
畫出韋恩圖，假設第一第二天相交卻除去三天相交的部分為a,同理假設二三天為b，一三天為c，而三天相交的為x，由容斥原理得 22 15 12 9 a x b x c x x整理得a b c 2x 14所以x最大不超過7，如果為7，此時a b c 0.也就是假設1 22號學生，第一天1 15號遲到了，第二...
哪位大神可以告訴我三集合容斥的公式該怎麼理解啊
流火之雲 a b c a b c a b a c b c a b c 因為a b c與a交b兩兩的交集它們中都含a交b交c，然而abc兩兩交集中我們應減兩次，然而我們卻將abc兩兩交集中的a交b交c減了三次，所以我們應該加上多減的一次abc的交集 舉例 某校六 班有學生45人，每人在暑假裡都參加體育...
「女為悅己者容？」什麼是女為悅己者容
本句中最重要的兩個詞是 悅己者 和 容 字。悅 是高興的意思，這裡女為悅己者容。形容詞作動詞用，指使自己高興，容 是名詞作動詞用，是說梳妝打扮的意思。女子會為那些通過稱讚或欣賞使得自己愉快高興的人打扮，因為值得這樣。士 指的是人才，知己 指了解自己，人才願意為了解自己，欣賞自己的人赴湯蹈火，因為這樣...