1樓：
在證明上式前,先證明:ln(x)<= x-1對於x≥1恆成立(這個用建構函式,求導,不難證明)
如是,令x = n^2,則 ln(n^2)<= (n^2)-1,兩邊同除以n^2,得(2lnn)/(n^2)<1-(1/n)^2
然後令n=2,3……，n可得到一系列不等式，疊加，得
（2ln2)/(2^2)+(2ln3)/(3^2)+(2ln4)/(4^2)+……+(2lnn)/(n^2)
＜n-＜n-=（2n^2-n-1)/2(n+1)
兩邊同除2，：(ln2)/(2^2)+(ln3)/(3^2)+(ln4)/(4^2)+……+(lnn)/(n^2）＜（2n^2-n-1)/4(n+1)成立
2樓：匿名使用者
兩邊同時乘以（-1）將（-1）放到指數上
左邊變成：(ln1/4)/4+(ln1/9)/9+...+(ln1/ n^2)/n^2
令f(x)=xlnx 則f(x)/x=lnx單調增加，所以(ln1/4)/4+(ln1/9)/9+...+(ln1/ n^2)/n^2>(1/4+1/9+...+1/n^2)ln(1/4+1/9+...
+1/n^2)
又 1/n(n+1)<1/n^2<1/n(n-1)(1/4+1/9+...+1/n^2)>1/2-1/(n+1)(1/4+1/9+...+1/n^2)<1-1/n所以ln(1/4+1/9+...
+1/n^2)[1/2-1/(n+1)]*ln(1-1/n)>(1-n)/2(n+1)*(-1/n)>-(2n^2-n-1)/(2n+2)
3樓：匿名使用者
首先可以證明函式lnx≤x-1 (當x≥1的時候）
然後通項ln(n^2)/n^2≤(n²-1)/n²=1-(1/n²)<1-1/[n(n+1)]=1-[(1/n)-1/(n+1)]
然後求和：左邊<(n-1)-[1/2-1/(n+1)]通分等於右邊。（注意左邊共n-1項）
利用函式的單調性證明當x0時，x x 2 2ln x 1 ,求過程
設f x x x 2 2 ln x 1 f x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 因為x 1 0,所以f x 0，所以減函式。因為x 0，所以f x f 0 即x x 2 2 ln x 1 0，所以x x 2 2 令 f x x x 2 ln x 1 對f x 關於x求導，得 f x 1 x 1 ...