1樓：電燈劍客
三樓的方法已經足以幫助你完成證明，不過這個問題有很多值得一提的東西，所以我隨便給你寫點。
(a) 從你的敘述來看，想必你知道如何按照cauchy提出的方法（自然數->整數->有理數->實數）逐步求g(x)+g(y)=g(x+y)的連續解。
既然如此，首先應該設法將新問題轉化到已解決的問題，這裡應該先令g(x)=f(x)-f(0)
那麼易得g(2x)=g(x)，再得到g(x+y)=g(x)+g(y)。
(b) 對於你的問題(2)，把f轉化到g之後就可以直接用歸納法得到你想要的結論，這和三樓的方法本質上一樣，只是結論更廣泛。
(c) 不要太過拘泥於cauchy原來的方法，比如說你已經證明了整數集上f(x)的形式，有些時候討論f(2x)和f(x)的關係要比直接討論有理數容易得多，在這種情況下只需要證明f(x)在所有二進位制有限小數上的性質（即所有m/2^k型的有理數），再結合連續性或單調性仍然可以直接延拓到實軸，沒有必要很教條地去討論有理數。
(d) 你的問題(1)和原問題難度相當，因為完全等價，並且和證明cauchy方程的連續解必定是線性函式也等價，所以一定是需要某些相對複雜或很有技巧的方法才能實現，我後面會給你一種方法。
(e) 與問題(1)相關的還有兩個結論，你可以拿去作為練習
1. r^n上的凸函式必定連續。
2. 若f定義在r^n上，既是凸函式又是凹函式，那麼f必定是仿射函式（即f(x)-f(0)是線性函式）。
(f) cauchy函式方程連續解的求法有很多，事實上只需要「f稍微有那麼點比較連續的性質」（比如說任何區域性的單調性、可積性、lebesgue可測性等）就可以證明f是線性函式。
舉個例子來說，假定g連續且滿足cauchy函式方程，那麼
\int_[x,x+1] g(y) dy = \int_[0,1] g(y) dy + g(x)
所以g(x)可導（因為左端可導）。再對給定的y，對g(x+y)=g(x)+g(y)求導得
g'(x+y)=g'(x)
於是g''(x)=0。
當然還有很多別的方法，你有興趣自己去看相關文獻，不過在此之前先得把數學分析的基礎打打紮實。
2樓：匿名使用者
沒有仔細看你的證明，不過可以這樣證明：
對任意自然數n，有f(2/n)=2f(1/n)-f(0); f(3/n)=3f(1/n)-2f(0);...
事實上可以用數學歸納法證明對任意自然數m， 有f(m/n)=mf(1/n)-(m-1)f(0)。（證明時對m分奇偶討論即可）
令m=n，可得f(1/n)=[f(1)-f(0)]/n+f(0)。
於是對任意自然數m,n有f(m/n)=[f(1)-f(0)]m/n+f(0)。
由於任意有理數可以寫成既約分數m/n的形式，於是該命題對任意有理數成立。
3樓：乘樂邦
這個有點難度呢
建議還是不要去思考極端的問題
關於——數學分析——實數——證明 《微積分學教程》的一道題，請教各位高手
4樓：匿名使用者
你的證明也是沒問題的。
兩個證明只有乙個區別：書上的證明中取e是有理數，而你的證明中e不一定是有理數而已。因此需要看題目當中對e的要求。
題目中的e必須是有理數，那只能按書上的證明；
不需要e是有理數，你的證明就可以。
請教一道無窮級數的題目
5樓：匿名使用者
如果沒猜錯的話，因為數列｛sn｝單調且有界，所以數列｛sn｝收斂（第一章的知識）！！所以數列｛sn+1｝也收斂！兩個收斂級數相減，結果還是收斂吧！！
不知道是不是這樣解釋！！等待高手解答！！
6樓：匿名使用者
一般情況下高等copy數學(比如同濟版高等數學)對數列和級數中的柯西審斂定理的掌握要求不高，但在數學分析中這卻是至關重要的。數列和級數本質上沒有差別，級數的收斂就是通過數列收斂來定義的。如果想詳細了解可以參閱數學分析方面的書，尤為推薦菲赫金哥爾茨三卷本《微積分學教程》或卓里奇兩卷本《數學分析》。
國內很好的有徐森林、常庚哲、陳紀修、陳天權、張筑生等諸位先生著述的。正如陶哲軒在他的實分析講義中所倡導的這樣一種理念：忘掉所獲得的一切數學知識，讓我們從利用peano公理構築自然數開始，重構分析數學的巨集偉王國！
7樓：匿名使用者
因為數列x(n)單調遞增且有上界，所以該數列收斂。再者級數的前n項和s(n)=x(n+1)-x(1)，兩端取極限即可知右端極限存在，因而級數收斂。
8樓：匿名使用者
如果這是道數
來學三的題目，而樓自主又沒學過bai高等數學！那你的du方法他就不懂zhi了！！話dao說，我學過高等數學的也不懂這句：
請高手詳細解答！！~~謝謝呀···[s:2][s:
13] [s:12] [s:11] [s:7]
求助一道數學分析題目
9樓：匿名使用者
令y=0,得2f(x)=2f(x)g(0),f(x)≠0，
∴g(0)=1
以x+y代x,得f(x+2y)+f(x)=2f(x+y)g(y),
同理，636f707962616964757a686964616f31333365633931f(x)+f(x-2y)=2f(x-y)g(y),
相加得f(x+2y)+f(x-2y)+2f(x)=2[f(x+y)+f(x-y)]g(y)=4f(x)[g(y)]^2,
∴f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x).
以x+2y代x,得f(x+4y)+f(x)=2f(x+2y),
同理，f(x)+f(x-4y)=2f(x-2y),
∴f(x+4y)+f(x-4y)+2f(x)=2[f(x+2y)+f(x-2y)]
=4f(x)^2,
設h1(y)=2[g(y)]^2-1,h(y)=h1[hn(y)],得
f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)h1(y),
f(x+4y)+f(-4y)=2f(x)h2(y),
依此類推，f(x+2^n*y)+f(x-2^n*y)=2f(x)hn(y).①
若存在y0≠0,使得p=|g(y0)|>1,則h1(y0)>[g(y0)]^2=p^2,
h2(y0)>(2p^2-1)^2>p^4,
……hn(y0)>p^(2^n)→+∞，
由①，f(x+2^n*y0)或f(x-2^n*y0)無界，這與題設矛盾。
∴|g(y)|<=1.
小弟數學專業，有一道關於數值分析的題目不懂，望有高手相助，答案已有，就是不明白，比如那個矩陣是怎麼 20
10樓：匿名使用者
span是生成空間的意思，span1，x，x^2是由1，x，x^2生成的空間
矩陣就是二次型寫法
數學分析題，數學高手請進，數學分析題，數學高手請進。
電燈劍客 取 f x 在 0,1 上的最小值k f a 利用積分第一中值定理 int 0 1 f x dx f b f b f a f a int a b f x dx k int a b f x dx k int 0 1 f x dx k 1.若k 0則結論已經成立 2.若k 0，那麼f x 嚴格...
問一道數學分析題目
電燈劍客 首先很容易驗證f x 1的時候結論成立 只要把積分積出來再求極限 結論關於f又是線性的，所以可以不妨設f 0 0 當然，這一步只是為了簡化證明，不是本質的 後面的三角不等式可以少一項 任取 0，存在 in 0,1 使得當0 x 時 f x f 0 2 接下來 n int 0 1 x n f...
數學專業數學分析問題，數學專業考研數學分析和高代有多難？
由 a n 收斂,對任意正整數k,存在正整數n k 使 a n 1 2 k.且不妨要求n k 關於k嚴格遞增 從而趨於無窮 定義數列c n 當n n 1 時c n 1,當n k n n k 1 時c n k 1.取b n a n c n 則易見lim a n b n lim 1 c n 0.只需證明...