1樓：叢沛凝葷默
輪換式：如果乙個多項式中的變數字母按照任何次序輪換後，原多項式不變，那麼稱該多項式是輪換多項式(簡稱輪換式)．
在乙個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式.
二元對稱式的基本對稱式是x+y,xy任何二元對稱多項式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解.
對稱式的因式分解
在乙個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式.
分解因式x4+(x+y)4+y4
分析這是乙個二元對稱式,二元對稱式的基本對稱式是x+y,xy任何二元對稱多項式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解.
解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不變,這類多項式稱為關於a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號f(x)、f(a)如對一元多項式3x2-5x-2可記作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示當x=a時多項式的值，如x=1時多項式3x2-5x-2的值為f(1)=3×12-5×1-2=-4,當x=2時多項式3x2-5x-2的值為f(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理
如果x=a時多項式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
如多項式f(x)=3x2-5x-2,當x=2時,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事實上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
證明設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0,則
f(x)=f(x)-f(a)
=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)
=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),
由於(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
對於多元多項式,在使用因式定理時可以確定乙個主元,而將其它的元看成確定的數來處理.
現在我們用因式定理來解
解這是乙個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現以a為主元，設f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當a=b和a=c時，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k為待定係數，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析這是乙個關於a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多項式的三個因式，而四次多項式還有乙個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應是a+b+c，故可設a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k為待定係數），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
2樓：承昂傑展邁
對稱式交換任意兩個變數的值，結果不變，如x+y+z；
輪換對稱式一定要輪換，例如x->y,y->z,z->x才能使結果不變，如(x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y，光換兩個不行。
第二個問題是不是給乙個式子，比如xy+yz+zx，求它等於0的解？如果是這樣的話，一般情況下有無陣列解。
所有的一次輪換對稱式都能寫成k(a+b+c)，後者就是乙個基本單元。比如在乙個3次的式子裡，他的一次部分肯定是k(a+b+c)的形式，沒有第二種可能。
補充：一般來說式子等於0時xyz的取值不外乎x=0,x=y,x+y=0,x+y+z=0這類的簡單關係，如果這些都不行那就基本上不可能找到了。
首先乙個式子後如果存在一次項，那肯定含有a+b+c。但(a-b)(b-c)(c-a)後都是三次的單項式，不滿足上面的條件，所以不一定會有a+b+c
另外乙個式子有a+b+c的因子等價於當a+b+c=0時這個式子的值為0。所以用給x，y，z賦特殊值的方法就能判斷到底有哪些因式
這個問題很重要，以後一直到大學都很有用，不明白的話直接叫我就行
3樓：麻霞輝唐伯
首先要說明的時，輪換式完整的叫法是輪換對稱式。因為幾何上對稱除了軸對稱之外，還有中心對稱、旋轉對稱等，相應地，在代數裡對稱也有較多的對稱。這與我們日常語言中的概念是有區別的。
下面指出輪換式和對稱式的區別：對稱式交換任意兩個變數的值，結果不變，如x+y+z；
輪換對稱式一定要輪換，例如x->y,y->z,z->x才能使結果不變，如(x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y，光換兩個不行。
第二個問題是分解因式的應用，現舉例項如下：
①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5
②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3
③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz
(1)分析:
將原式看成x的多項式,可知
當x=－y時,
原式=(－y＋y＋z)^5－(－y)^5－y^5－z^5
=0所以原式有因式(x＋y),因為是對稱式，所以原式還有因式(y＋z),(z＋x)
設原式=(x＋y)(y＋z)(z＋x)[k(x^2＋y^2＋z^2)＋t(xy＋yz＋zx)]
令x=1,y=1,z=0,代入得
30=2(2k＋t);
令x=1,y=－1,z=0,代入得－30=－2(5k－2t)
解得k=5,t=5
所以原式=5(x＋y)(y＋z)(z＋x)(x^2＋y^2＋z^2＋xy＋yz＋zx)
(2)分析
設原式=[(2a＋2b＋2c)^3－(b＋c)^3]－[(c＋a)^3＋(a＋b)^3]
然後利用立方差和立方和公式,並令整理後的式子
=(2a＋b＋c)(m－n)
其中由輪換多項式可確定(m－n)中含有(a＋2b＋c),(a＋b＋2c)
比較係數的原式=3(2a＋b＋c)
(a＋2b＋c)(a＋b＋2c)
(3)分析
設x=y＋z,則有
原式=(x＋y)^3＋y^2(2z＋y)＋z^2(2y＋z)－[(y＋z)^3＋y^3＋z^3]－2(y＋z)yz
=(y＋z)^3＋2y^2z＋y^3＋2yz^2＋z^3－(y＋z)^3－y^3－z^3－2y^2z－2yz^2=0
所以原式有因式(y＋z－x),因為對稱式，故也有因式(z＋x－y),(x＋y－z)
設原式=k(y＋z－x)(x＋y－z)(z＋x－y)
其中k為待定係數,比較等式兩邊xyz項的係數
右=k(1－1＋1－1－1－1)=－2k
，左=－2
所以解得k=1
所以原式=(y＋z－x)(x＋y－z)(z＋x－y)
對稱與輪換對稱很重要，以後一直到大學都很有用。
在證明不等式時什麼時候可以根據輪換對稱用到不妨設 例如不妨設a b c 1 且不妨設該怎麼用最好有例子
不妨設a b c 1不是因為輪換對稱性哦，而是因為分子分母的齊次性啊親。比如證明 不等式當a,b,c 0時 a b c b a c c a b 3 2 對左邊進行恒等變形，每一項都分子分母同除以 a b c 這是如果你令a a a b c b b a b c c c a b c 則原不等式等價於證 ...
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