1樓：音符娃娃
因式分解典型例題
例1 多項式x2+ax+b因式分解為(x+1)(x-2)，求a+b的值．
分析 根據因式分解的概念可知因式分解是一種恆等變形，而恆等式中的對應項係數是相等的，從而可以求出a和b，於是問題便得到解決．
解 由題意得：x2+ax+b=(x+1)(x-2)，所以
x2+ax+b=x2-x-2，
從而得出
a=-1，b=-2，
所以a+b=(-1)+(-2)=-3．
點評 “恆等式中的對應項係數相等”這一知識是求待定係數的一種重要方法．
例2 因式分解6a2b+4ab2-2ab．
分析 此多項式的各項都有因式2ab，提取2ab即可．
解 6a2b+4ab2-2ab=2ab(3a+2b-1)．
點評 用“提公因式法”分解因式，操作時應注意這樣幾個問題：首先，所提公因式應是各項係數的最大公約數與相同字母最低次冪的乘積，即提取的公因式應是多項式各項的最高公因式，否則達不到因式分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得結果應是：最高公因式與原多項式各項分別除以最高公因式所得商式的乘積．如果原多項式中的某一項恰是最高公因式，則商式為1，這個1千萬不能丟掉．
本例題中，各項的公因式有2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中2ab是它們的最高公因式，故提取2ab．作為因式分解後的一個因式，另一個因式則是分別用6a2b，4ab2和-2ab除以2ab所得的商式代數和，其中-2ab÷2ab=-1，這個-1不能丟．
例3 因式分解m(x+y)+n(x+y)-x-y．
分析 將-x-y變形為-(x+y)，於是多項式中各項都有公因式x+y，提取x+y即可．
解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y)
=(x+y)(m+n-1)．
點評 注意添、去括號法則．
例4 因式分解64x6-1．
分析 64x6可變形為(8x3)2，或變形為(4x2)3，而1既可看作12，也可看作13，這樣，本題可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分解．
解 方法一
64x6-1=(8x3)2-1
=(8x3+1)(8x3-1)
=[(2x)3+1][(2x)3-1]
=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)
方法二64x6-1=(4x2)3-1
=(4x2-1)(16x4+4x2+1)
=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)
=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]
=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)
點評 在分解因式時，儘管採用的方法不同，但結果應是相同的．本題的兩種解法，顯然第一種方法比較簡單．
點評 分解因式時，應首先考慮各項有沒有公因式，如果有公因式，一定先提公因式，然後再考慮能否用其它方法繼續分解．本題如果先提2，應如何分解？
例6 因式分解(x+y)2-6(x+y)+9．
分析 可將x+y當作一個整體，此多項式便是關於這個整體的二次三項式，顯然它可用完全平方公式分解．
解 (x+y)2-6(x+y)+9
=(x+y)2-2×3×(x+y)+32
=(x+y-3)2．
點評 在運用公式分解因式時，一定要掌握公式的特點，尤其要注意完全平方公式中一次項係數的特點．
例7 因式分解x2+6x-7．
分析 這個二次三項不符合完全平方公式的特點，首先，二次項與常數項不同號，其次，常數項的絕對值不是一次項係數一半的平方，所以不能直接用公式分解，但經過適當的變形後，便可用公式分解．另外，這樣的二次三項式可用十字相乘法分解．
解 方法一
x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16
=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)
方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)
點評 方法一叫配方法．用配方法分解二次三項式時，其前提是二次項係數為1（如果二次項係數不是1，則提取這個係數，使二次項係數轉化為1）；其關鍵是，加上緊接著減去一次項係數絕對值一半的平方，這樣便達到配方的目的．在用十字相乘法分解二次三項式時，主要考慮的是十字相乘後的代數和應是一次項．
例8 因式分解3x2-7x-6．
分析 本題二次項係數不是1，如果用配方法分解，則應首先提取二次項係數3，然後再加、減一次項係數一半的平方；如果用十字相乘法分解，既要考慮好首尾兩項的分解，更要考慮到十字相乘後的代數和應是中間項（即一次項）．
解 方法一
方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．
點評 用十字相乘法分解因式，在排列算式時，應想到同行不應有公因式（如本題二次項所分出的3x與常數項所分出的3不能放在同行，只能與分解出的另一個因式2放在同行）這是因為，如果同行有公因式，此公因式在開始分解時就應提出．掌握這一點會簡化操作過程．從上述兩例可以明顯看出，在有理數範圍內分解二次三項式ax2+bx+c用十字相乘法比較方便，但隨著數的範圍的擴大，就看出配方法的重要了．於是便出現這樣的問題：在分解二次三項式ax2+bx+c時，何時用公式法？何時用十字相乘法？
何時用配方法？我們可用b2-4ac的結果來判別：
b2-4ac=0時，用完全平方公式分解；
b2-4ac＞0且是一個完全平方數時，用十字相乘法分解；
b2-4ac＞0但不是完全平方數時，用配方法分解；
b2-4ac＜0時，在有理數範圍內和將來學到的實數範圍內都不能分解．
至於為什麼可用b2-4ac的結果來作上述判斷，這個問題在今後的學習中會得到解決．
例9 因式分解2ax-10ay+5by-bx．
分析 用分組分解法．可將
一、二兩項和
四、三兩項分別作為一組，這樣不僅每組可分解，而且確保繼續分解．
解 2ax-10ay+5by-bx
=2ax-10ay-bx+5by
=(2ax-10ay)-(bx-5by)
=2a(x-5y)-b(x-5y)
=(x-5y)(2a-b)．
點評 本題還可以
一、四兩項一組，二、三兩項一組，但不能
一、三項和
二、四項分組，可見分組要恰當．分組是否恰當，以能否達到因式分解的目的為標準．所以，分組後各組係數成比例則是恰當分組的重要條件．
例10 因式分解：
（1）x2-2xy+y2-1 （2）x2-2y-y2-1
分析 這兩小題都不能平均分組，因為平均分組後，各組係數不可能成比例，從而達不到因式分解的目的，但經過觀察可知，如果將（1）題前三項和第四項分組，將（2）題第一項和後三項分組，則可先用完全平方公式繼而用平方差公式將其分解．
解 （1）x2-2xy+y2-1
=(x2-2xy+y2)-1
=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)
（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1
=x2-(y2+2y+1)
=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)
點評 在分解四項式時，也應首先考慮是否有公因式，如果有，要先提公因式然後再考慮分組，在分組時，又有兩兩分組、一三分組和三一分組三種不同分法，這就需要做到具體問題具體分析．對某些特殊的四項式也可直接用完全立方公式分解，即a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3．對五項式或五項以上的多項式也採用分組分解法．
例11 因式分解x2+4xy+3y2+x+3y．
分析 本題的前三項可以分解為(x+y)(x+3y)，其中(x+3y)正好與後兩項完全一樣，所以本題作三二分組，問題便得到解決．
解 x2+4xy+3y2+x+3y
=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)
=(x+y)(x+3y)+(x+3y)
=(x+3y)(x+y+1)．
例12 因式分解：
（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1，
（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3，
（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3．
分析 這三道題都不能平均分組，經觀察，它們都可以三二一分組，分組後，（1）題可經過兩次完全平方公式分解，（2）題可經過一次公式和一次十字相乘分解，而（3）題則可經過兩次十字相乘分解．
解 （1）a2+2ab+b2+2a+2b+1
=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1
=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．
（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3
=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3
=(a+b)2+2(a+b)-3
=(a+b+3)(a+b-1)．
（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3
=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3
=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3
=(a+b-1)(a+2b+3)．
例13 已知4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，求證：
2x2+3xy+y2-x-y=0
分析 要證明一個多項式的值為零，通常是將此多項式分解因式．若分解後的因式中有一個值為零，則原多項式的值為零．經過分組分解，可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)，若x+y或2x+y-1為零，則原多項式的值為零．為達此目的，就要從條件入手．
證明 因為4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以
(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，
(2x+y-1)2=0．
所以2x+y-1=0．
又因為2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．
而2x+y-1=0，
所以2x2+3xy+y2-x-y=0．
例14 已知3x2-4xy-7y2+13x-37y+m能分解成兩個一次因式的乘積，求m的值．並將此多項式分解因式．
分析 根據因式分解的概念和乘法法則可知，原多項式所分解得的兩個因式必然都是三項式，而原多項式的前三項可分解為(3x-7y)(x+y)，於是可設原多項式分解為(3x-7y+a)(x+y+b)，再根據恆等式中的對應項係數相等，便能使問題得到解決．
解 設3x2-4xy-7y2+13x-37y+m
=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]
=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．
對應項係數相等，所以
由（1）（2）解得a=-2，b=5．將a=-2，b=5代入（3），得
m=-10．
所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m
=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10
=(3x-7y+a)(x+y+b)
=(3x-7y-2)(x+y+5)．
例15 已知｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，求x與y的值．
分析 在通常情況下，由一個方程求兩個未知數的值，條件是不夠的，但在特殊條件下又是可行的，這“特殊條件”包括非負數的和等於零的性質．本題已有一個明顯的非負數，即｜x-3y-1｜，而另一個非負數可由因式分解得到．於是問題能夠解決．
解 因為｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以
｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0
即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0
所以解這個方程組，得
x=-2，y=-1．
例16 因式分解：
（1）x4+4y4； （2）x3+5x-6．
分析 這兩個多項式既無公因式可提，也不能直接用公式或直接分組分解．經過觀察：（1）題若加上4x2y2，隨之減去4x2y2，這樣既保證多項式的值不變，又可先用完全平方公式繼而用平方差公式分解．（2）題如果將5x拆成-x+6x便可分組分解．或者，將-6拆成-1-5也可分組分解．
解 （1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2
=(x2+2y2)2-(2xy)2
=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．
（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6
=(x3-x)+(6x-6)
=x(x+1)(x-1)+6(x-1)
=(x-1)(x2+x+6)
點評 若將-6拆成-1-5，應如何分解？
例17 已知x2-2xy-3y2=5，求整數x和y的值．
分析 原式左端可分解為兩個一次因式的乘積，由題意可知，這兩個因式都表示整數，這樣只能是一個因式為1（或-1），而另一個因式為5（或-5）．於是便可列出方程組求出x和y的值．
解 因為x2-2xy-3y2=5，所以
(x-3y)(x+y)=5．
依題意x，y為整數，所以x-3y和x+y都是整數，於是有：
解上述方程組得：
例18 已知a=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49（x為整數），求證：a為一個完全平方數．
證明 因為a=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49
=(x2-x-6)(x2-x-20)+49
=(x2-x)2-26(x2-x)+169
=(x2-x-13)2
所以a是一個完全平方數．
這裡是些基本題
事實上我覺得因式分解什麼的最簡單了 你應該找點難的 學分式會有很大用的
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