1樓：只是路過而已
有理數都可以寫成p/q或者q/p這個形式，只要要求p,q互質就可以了，互質的目的是讓它表示的有理數唯一。比如4可以寫成4/1，但如果不加這個條件還能寫成8/2。如果不要求互質，後面證明中會出現不必要的麻煩。
2樓：啊嗚補差價哦
你好，我幫你解答(我的過程在幾何原本裡面有)假設根號2是有理數，則有根號2=p/q(這是有理數的定義)其中，p/q互質。
則有p^2/q^2=2
p^2=2q^2
只有2的倍數的平方才是偶數。
所以p是偶數。
令p=2s則有4s^2=2q^2
2s^2=q^2
同理，q也是偶數。
既然都是偶數，與原來的互質矛盾！這句是關鍵）
則根號2不是有理數。
所以是無理數。
3樓：匿名使用者
p、q為什麼要互質：是說沒有公因數，如有公因數也可都約去，變更為一對更小的數p、q即可作為√2的分式進行證明。
4樓：司馬川平
就算不是互質的兩個數，也能被兩個互質的數表示，人家想讓你看的方便點 ←_
證明√2是無理數
5樓：匿名使用者
證明：如果√2是有理數， 必有√2=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：2=p^2/q^2
p^2=2q^2
顯然p為偶數，設p=2k（k為正整數）
有：4k^2=2q^2,q^=2k^2
顯然q也為偶數，與p、q互質矛盾。
∴假設不成立，√2是無理數。
6樓：中國老楊
證明：若根號2是有理數，則設它等於m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質）
所以 （m/n）^2=根號2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶數，設m=2k（k是整數）所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶數。
因為 m、n互質。
所以 矛盾。
所以 根號2不是有理數，它是無理數。
無理數的證明方法
7樓：手機使用者
歐幾里得《幾何原本》中提出了一種證明無理數的經典方法：
證明： √2是無理數。
假設√2不是無理數。
∴√2是有理數。
令 √2=p/q (p、q互質)
兩邊平方得：
2=(p/q)^2
即：2=p^2/q^2
通過移項，得到：
2*q^2=p^2
∴p^2必為偶數。
∴p必為偶數。
令p=2m則p^2=4m²
∴2q^2=4m^2
化簡得：q^2=2m^2
∴q^2必為偶數。
∴q必為偶數。
綜上，q和p都是偶數。
∴q、p互質，且q、p為偶數。
矛盾 原假設不成立。
∴√2為無理數 證明是無理數（整數n>=2）a,b互素。
假設則存在。
則a為偶數，設a=2t, t為自然數 代人上式有。
則b同樣是偶數，與條件（a，b）為互素的最小整數是相互矛盾的。
那麼假設是不成立的。
則成立，那麼必為無理數。 條件（整數n>2）a,b互素，p,q互素，則有。
成立。以下是證明：
假設則：(p^n+q^n)b^n=a^n q^n
（1） p^nb^n=q^n(a^n -b^n)
由於p,q互素那麼q必為b的因子。
設b=qt代人（1）式。
p^n +q^n=(a/t)^n
如果t>=2,則，t必為a的因子，與a b互素相矛盾，所以t必須等於1
則：（2）p^n +q^n=a^n
如果（2）依然成立則有。
要使得a-q為整數，至少a-q的小數部分為有理數，而a-q的式是無限級數，那麼只有乙個條件下a-q才可能是有理數，就是級數的係數的絕對值相等，由此只有n趨近無窮大時才會出現此種情況如下：
使a-q是-（p/q）^n的等比數列之和，要求是係數的絕對值相等，上式就是極限狀態也不存在係數的絕對值相等。
所以在有限整數n>2 的條件下a-q不可能是有限的或無限迴圈的，那麼它只能是無理數，所以a也只能是無理數，據此與條件假設a為整數相矛盾，故此假設不成立。
整數n>2時，對於互素的p,q，（q>p）沒有整數a使得（3）等式成立。
（3）那麼必然使得下式（4）成立。
（4）拓展2證明完畢。
初中數學 證明根號2是無理數
8樓：匿名使用者
假設根號二是一分數，設其為（p/q）（p,q互質），由根號二的意義得（p/q)的平方=2，即有（p的平方/q的平方）=2，故q的平方=2倍的p的平方。
請注意，2倍的p的平方必定是偶數，因而q的平方也必定是偶數，進而q一定是偶數。於是可設q=2k（k是正整數），由上述式子得。
（2k）的平方=2倍的p的平方，從而2倍的k的平方=p的平方。
所以p的平方必定是偶數，於是p也是偶數，這與p,q互質矛盾。
這個矛盾表明我們的假設「根號二是一分數」不成立，所以根號二既非整數，也非分數，就是說，根號二是無理數。
參考資料。《數學》初二上冊第12頁。
9樓：匿名使用者
用反證法。
假定^2是有理數，那麼一定可以表示為p/q，其中p和q是互質的自然數，且q<>1。
兩邊同時平方，得到：
2=p^2/q^2
由於平方運算不影響原來自然數的奇偶性，即偶數的平方還是偶數，奇數的平方還是奇數，因此上式也可以寫為：
2=p/q，而且平方操作也不影響互質性，因此p和q是互質的自然數，且q<>1。
1 p,q不可能都是偶數，因為這違背了「互質」的前提，因為兩個偶數必然有公因子2；
2 p,q不可能都是奇數，因為兩個奇數相除不可能得到2；
3 只有一種可能性是p,q為一奇數，一偶數，但是這樣一來，p就有了q作為它的因子，這與題設中互質的前提又有矛盾。
綜合1/2/3，我們不可能找到這樣兩個自然數p, q來表示根號2。因此根據有理數的定義，根號2只能是無理數。證畢。
10樓：匿名使用者
假設根號二是有理數設 根號2=n/m(m,n屬於z,m,n互質)根號2*m=nn方=2*m方n是2的倍數設n=2k則4k方=2m方m方=2*k方(m方為偶數)所以 m為偶數所以 2為m,n公約數與 m,n互質矛盾所以根號2不是有理數得證。
11樓：匿名使用者
假設存在這樣乙個有理數p, p^2 = 2. 再設p = a/b， a、b是兩正整數，且既約，就是沒有除1外的共因子，使得(a/b)^2 = 2； 變形以後得a^2 = 2 * b^2，推出a^2是個偶數，同時為了滿足a^2是個平方數，那b^2必須包含乙個因子2，所以a^2 / b^2不是既約的，那a/b也不是既約的啦！與前提矛盾，證得根號2不是有理數！
12樓：匿名使用者
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為既約分數，即最簡分數形式。
把 √2=p/q 兩邊平方。
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
怎麼證明√2是無理數
13樓：我愛五子棋
下面是畢達哥拉斯提出的證明方法：
假定√2是有理數，即√2 = p/q，在這裡p和q是沒有公約數的正整數（沒有除1以外的其它正整數公因子），於是 p = 2q ，或p2 = 2q2因為p2是個整數的2倍，可知p2是個偶數，從而p必定是偶數。令p=2r，於是前面的等式成為4r2=2q2，或q2=2r2，可知q2是個偶數，從而q必定是偶數。由於p、q都是偶數，它們有乙個公約數2，這與最初的假設p,q是沒有公約數的正整數相矛盾。
於是，由√2是有理數的假定引出了不可能的情況，因而這個假定必然是不對的。
這個證明是數學史上最早的乙個技巧高超的證明，用的是反證法。相傳，畢達哥拉斯對這個證明結果非常珍惜，不打算公開公布這個結果。他的乙個學生為了好奇，悄悄走到老師家裡偷出了檔案，這個證明方法才被公開出來。
從而引起了科學界的第一次數學危機。
14樓：匿名使用者
如果√2是有理數，必有√2=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數，設p=2k（k為正整數）
有：4k^=2q^,q^=2k^
顯然q業為偶數，與p、q互質矛盾。
∴假設不成立，√2是無理數。
15樓：匿名使用者
假設根號2是有理數 有理數可以寫成乙個最簡分數 及兩個互質的整數相除的形式 即根號2=p/q pq互質 兩邊平方 2=p^2/q^2 p^2=2q^2 所以p^2是偶數 則p是偶數 令p=2m 則4m^2=2q^2 q^2=2m^2 同理可得q是偶數 這和pq互質矛盾 所以假設錯誤 所以根號2是無理數。
根號 2 是無理數，怎麼證明
16樓：小老爹
可以用反正法：
假設√2不是無理數，那它是有理數，所以它可以表示成√2=p/q，其中p和q互質的正整數，所以2=p^2/q^2，所以p^2=2*q^2，所以2能整除p^2，所以p^2是偶數，所以p是偶數，設p=2r，r是整數。
所以p^2=4*r^2=2*q^2，所以2*r^2=q^2，所以2能整除q^2，所以q^2是偶數，所以q是偶數，p、q都是偶數，與p和q互質矛盾，所以假設錯誤，所以√2是無理數。
17樓：匿名使用者
用反證法。
證明設a，b是互質的正整數，且a/b=√2，則a=√2b，兩邊平方得。
a^2=2b^2
b^2能整除a^2
b能整除a，這與條件不符。
∴√2不是有理數。
如何證明乙個數是無理數
18樓：小諸葛之豬豬
無理數是指實數範圍內不能表示成兩個整數之比的數。[1] 簡單的說，無理數就是10進製下的無限不迴圈小數，如圓周率、√2等。也是開方開不盡的數。
而有理數由所有分數，整數組成，總能寫成整數、有限小數或無限迴圈小數，並且總能寫成兩整數之比，如22/7等。
例如：π舉例證明方法「
歐幾里得《幾何原本》中提出了一種證明無理數的經典方法：
證明： √2是無理數。
假設√2不是無理數。
∴√2是有理。
令 √2=p/q (p、q互質)
兩邊平方得：
2=(p/q)^2
即：2=p^2/q^2
通過移項，得：
2*q^2=p^2
∴p^2必為偶數。
∴p必為偶數。
令p=2m則p^2=4m²
∴2q^2=4m^2
化簡得：q^2=2m^2
∴q^2必為偶數。
∴q必為偶數。
綜上，q和p都是偶數。
∴q、p互質，且q、p為偶數。
矛盾 原假設不成立。
∴√2為無理數。
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怎麼證明根號2是無理數
譙萱戰鳥 假設存在這樣乙個 有理數p,p 2 2.再設p a b，a b是兩 正整數，且 既約，就是沒有除1外的共因子，使得 a b 2 2 變形以後得a 2 2 b 2，推出a 2是個偶數，同時為了滿足a 2是個平方數，那b 2必須包含乙個因子2，所以a 2 b 2不是既約的，那a b也不是既約的...
如何證明根號2是無理數 怎麼證明根號二是無理數
證明 假設 2不是無理數，而是有理數。既然 2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式 2 p q 又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p q為既約分數，即最簡分數形式。把。2 p q 兩邊平方。得。2 p 2 q 2 即。2 q 2 p 2 由於2q 2是偶數，p 必定為偶數，設p 2m...