1樓:譙萱戰鳥
假設存在這樣乙個
有理數p,
p^2=
2.再設p
=a/b,
a、b是兩
正整數,且
既約,就是沒有除1外的共因子,使得(a/b)^2=2;
變形以後得a^2=2
*b^2,推出a^2是個偶數,同時為了滿足a^2是個平方數,那b^2必須包含乙個因子2,所以a^2/b^2不是既約的,那a/b也不是既約的啦!與前提矛盾,證得單位正方形對角線長度不是有理數!
2樓:初中數學九筒老師
20190821 數學04
3樓:俟令丘文君
反證法,假設它是
有理數則
sqrt(2)=p/q
p,q為有理數,且p,q不可
約分(有理數的定義)
兩邊平方得
2=p^2
/q^2
顯然,如果q為奇數,則q^2是奇數,p^2則是偶數,推出p為偶數,同理q為偶數,則推出p為偶數,p
綜上,p一定是偶數
不妨設p=2s
帶入2=p^2/q^2
q^2=2s^2(偶數),從而q一定是偶數p,q都是偶數,這顯然與我們的其實假設矛盾,因為這樣的p,q必然是可以約分的,故得證
4樓:聲合英巫煙
如果√2是有理數,必有√2=p/q(p、q為互質的正整數)兩邊平方:2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數,設p=2k(k為正整數)
有:4k^=2q^,q^=2k^
顯然q業為偶數,與p、q互質矛盾
∴假設不成立,√2是無理數
怎麼證明根號2是無理數
5樓:還好知道點
此題可用反證法進行證明,具體證明過程如下:
假設根號2是有理數,則根號2可以表示為乙個分數,因為任何乙個有理數都可以表示為分數形式,不妨設根號2=a/b,其中a、b都是正整數,且為最簡,即不能再約分(即a、b只能乙個為奇數,乙個為偶數),很顯然,b≠1;
則兩邊分別平方,可得2=a²/b²
即a²可被b²整除,分兩種情況考慮
1、a為奇數、b為偶數,此時a²仍為奇數、b²仍為偶數,這時a²顯然不能被b²整除,即這種情況不滿足題意;
2、a為偶數、b為奇數,此時a能被2整除,則a²能被4整除,則a²/2仍為偶數,而根據假設a²/2=b²,此時b²應為奇數;但該情況時b為奇數,b²則也為奇數,即不滿足題意。
綜合考慮,由假設得出的結論均存在矛盾,則證明假設錯誤,原命題正確。
即根號2為無理數是正確的。
6樓:初中數學九筒老師
20190821 數學04
7樓:豐弼資谷秋
假設根號2是有理數
有理數可以寫成乙個最簡分數
及兩個互質的整數相除的形式
即根號2=p/q
pq互質
兩邊平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶數
則p是偶數
令p=2m
則4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶數
這和pq互質矛盾
所以假設錯誤
所以根號2是無理數
8樓:呆曉
無理數時指無限不迴圈小數,如果時有理數,可以寫成分母形式,根號二寫不了咯,所以就是無理數
9樓:匿名使用者
反證法如下:
假如根號2是有理數,那麼它一定可以用乙個最簡的(不能再約分的)分數m/n表示,也就是m、n的最大公約數是1
則:m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2,所以m^2是偶數
偶數的平方一定是偶數,反之亦然,若乙個偶數是完全平方數,那它的平方根也一定是偶數,所以m是偶數
假設m=2k,,k是整數。那麼2*n^2=(2k)^2=4*k^2所以n^2=2*k^2,與上面同理
所以說n也是偶數
既然m,n都是偶數,那麼m/n就不是最簡分數,它們的最大公約數就不是1,至少2也是它們的公約數,很顯然2>1,與原題設的1是它們的最大公約數矛盾
故根號2是無理數
提高一下,如何證明根號3也是無理數呢?樓主自己去考慮
如何證明根號2是無理數 怎麼證明根號二是無理數
證明 假設 2不是無理數,而是有理數。既然 2是有理數,它必然可以寫成兩個整數之比的形式 2 p q 又由於p和q沒有公因數可以約去,所以可以認為p q為既約分數,即最簡分數形式。把。2 p q 兩邊平方。得。2 p 2 q 2 即。2 q 2 p 2 由於2q 2是偶數,p 必定為偶數,設p 2m...
如何證明根號 2 是無理數?怎麼證明根號二是無理數
用反證法來證明。假定 2是有理數,即 2 p q,在這裡p和q是沒有公約數的正整數 沒有除1以外的其它正整數公因子 於是 p 2q 或p2 2q2因為p2是個整數的2倍,可知p2是個偶數,從而p必定是偶數。令p 2r,於是前面的等式成為4r2 2q2,或q2 2r2,可知q2是個偶數,從而q必定是偶...
如何證明是無理數,怎麼證明 是無理數?
牧時芳勾君 因為沒有一個分數可以表示 可以設 x除以y,但x和y都是有理數,因此假設不成立,所以 是無理數 犁堯岑瑛琭 假設 是有理數,則 a b,a,b為自然數 令f x x n a bx n n 若0 0 0 以上兩式相乘得 0 當n充分大時,在 0,區間上的積分有 0 f x sinxdx n...