1樓：韓增民鬆
已知函式f(x)=xe^-x(x∈r)
(1)求函式f(x)的單調區間和極值
(2)已知函式y=g（x）的影象與函式y=f（x）的影象關於直線x=1對稱，證明x＞1時，f（x）＞g（x）(3)如果x1≠x2，且f（x1）=g（x2），證明x1+x2=2
(1)解析：∵函式f(x)=xe^(-x)令f’(x)=(1-x)e^(-x)=0==>x=1f’’(x)=(x-2)e^(-x)==>f’’(1)=-1/e<0∴f(x)在x=1處取極大值1/e
∴f(x)在x<1時，單調增；在x>1時單調減；
(2)證明：∵函式y=g（x）的影象與函式y=f（x）的影象關於直線x=1對稱
函式y=f(x)與y=f(2a-x)的影象關於直線x=a成軸對稱。
∵函式y=f(x)=xe^(-x)
∴y=g(x)=f(2-x)=(2-x)e^(x-2)∵x>1
設h(x)=xe^(-x)-(2-x)e^(x-2)令h’(x)=(1-x)e^(-x)-(1-x)e^(x-2)=(1-x)*[e^(-x)-e^(x-2)]>0
∴h(x)單調增，h(1)=e^(-1)-e^(-1)=0∴當x>1時，h(x)>0
∴f（x）＞g（x）成立；
(3)證明：設x1≠x2，且f（x1）=g（x2）∵函式y=g（x）的影象與函式y=f（x）的影象關於直線x=1對稱∴x1與x2關於直線x=1對稱
即當x2>1>x1時1-x1=x2-1==>x1+x2=2當x1>1>x2時1-x2=x1-1==>x1+x2=2此問好象有點問題，當x1,x2在1的同一側時，x1+x2≠2
2樓：匿名使用者
（1）f'(x)=e^(-x) -x·e^(-x)=(1-x)·e^(-x)
令f'(x)>0，解得 x<1，即f(x)在(-∞，1)上是增函式，
同理，f(x)在(1，+∞)上是減函式。
（2）g(x)與f(x)關於x=1對稱，
則g(1+x)=f(1-x)=(1-x)·e^(x-1)
所以 g(x)=(2-x)·e^(x-2)，g'(x)=(1-x)·e^(x-2)
，f'(x)-g'(x)=(1-x)·[e^(-x) -e^(x-2)]
令h(x)=e^(-x)-e^(x-2)，則h'(x)=-e^(-x) -e^(x-2)<0，即h(x)是減函式，
所以，當x>1時，有h(x)0，
從而 f(x)-g(x)是[1，+∞)上的增函式，
所以 f(x)-g(x)>f(1)-g(1)=1/e -1/e=0
即f(x)>g(x)
（3）由（2）不難得出，當x<1時，有f(x) 若 x1≠x2，且f(x1)=g(x2)，則x1,x2中一個小於1，一個大於1，不妨設 x1<1 從而 f(x1)=f(2-x2)，x1，2-x2都屬於單調增區間(-∞，1)， 從而 x1=2-x2， 即 x1+x2=2 3樓：匿名使用者 解答：（1）f′（x）=e^（-x）+x*【-e^（-x）】=（1-x）e（-x） 令f′（x）=0，則x=1 列表如下 x （-∞，1） 1 （1，+∞） y' + 0 - y 遞增 極小值 遞減 ∴ f（x）在（-∞，1）內是增函式，在（1，+∞）內是減函式． 函式f（x）有極大值，為f（1），f（1）=1*^（-1）=1/e （2）證明： 由已知，可得g（x）=f（2-x）， ∴g（x）=（2-x）e^（x-2） ∴ g'（x）=-e^（x-2）+（2-x）*e^（x-2）=e^（x-2）（1-x） f′（x）=e^（-x）+x*【-e^（-x）】=（1-x）e（-x） 建構函式f（x）=f（x）-g（x）， ∴ f'（x）=f'（x）-g'（x） ∴ f'（x）=（x-1）*【e（2x-2）-1】*e（-x） ∵ x＞1時，2x-2＞0，∴ e^（2x-2）-1＞0， 又∵ e（-x）＞0， ∴ f′（x）＞0， ∴函式f（x）在[1，+∞）是增函式． 又∵f（1）=e^（-1）-e^（-1）=0， ∴ x＞1時，有f（x）＞f（1）=0， 即f（x）＞g（x）． （3）證明： 題目有誤 f（2）=2/e² 函式y=g（x）的影象與函式y=f（x）的影象關於直線x=1對稱 g（x）=（2-x）e^（x-2） ∴ g（x）在（1，+∞）內是減函式 當 x-->正無窮大，g（x）=（2-x）e^（x-2）-->負無窮大 g（1）=1/e＞2/e² ∴ 在（1，+∞）上存在一個x0,使得 g（x0）=2/e² 又 g（2）=0≠2/e² ∴ x0≠2 即 g（x0）=f（2） 但 x0+2≠2 ∴ 題目有誤。 4樓：李思堯 ：∵函式f(x)=xe^(-x) 令f’(x)=(1-x)e^(-x)=0==>x=1f’’(x)=(x-2)e^(-x)==>f’’(1)=-1/e<0∴f(x)在x=1處取極大值1/e ∴f(x)在x<1時，單調增；在x>1時單調減； (2)證明：∵函式y=g（x）的影象與函式y=f（x）的影象關於直線x=1對稱 函式y=f(x)與y=f(2a-x)的影象關於直線x=a成軸對稱。 ∵函式y=f(x)=xe^(-x) ∴y=g(x)=f(2-x)=(2-x)e^(x-2)∵x>1 設h(x)=xe^(-x)-(2-x)e^(x-2)令h’(x)=(1-x)e^(-x)-(1-x)e^(x-2)=(1-x)*[e^(-x)-e^(x-2)]>0 ∴h(x)單調增，h(1)=e^(-1)-e^(-1)=0∴當x>1時，h(x)>0 ∴f（x）＞g（x）成立； (3)證明：設x1≠x2，且f（x1）=g（x2）∵函式y=g（x）的影象與函式y=f（x）的影象關於直線x=1對稱∴x1與x2關於直線x=1對稱 即當x2>1>x1時1-x1=x2-1==>x1+x2=2當x1>1>x2時1-x2=x1-1==>x1+x2=2 5樓：毒蠍 第三問打錯了，應該是x1+x2大於2，這是天津有一年的高考題，我們月考考的。。我用的是二階導。。不確定你能不能看懂。。求導之後再求導，根據二階導變化規律作圖，然後能證出來。