為什麼實對稱矩陣的相似對角化要用正交矩陣

1樓：假面

對稱矩陣也可以用一般的由特徵向量組成的非奇異陣做對角化，只不過它有特殊的性質（對稱），因此我們就可以考慮特殊的對角化，也就是正交相似對角化。

這麼做有好處：正交矩陣的逆矩陣很容易求，就是它的轉置，不像一般的可逆陣需要半天才能求出來。如果是乙個1000*1000的矩陣求逆，那要多長時間才能做完？

但正交矩陣就太容易了，只要轉置一下就行了。

2樓：薔祀

實對稱矩陣的相似對角化要用正交矩陣一般都是為了簡化後續的計算。

因為實對稱矩陣是特殊的矩陣。他的特點就是可以正交對角化（一般的矩陣只能相似對角化）即把特徵向量組成的矩陣再進行斯密特正交化以及單位化這樣做的目的是使得p的逆矩陣ap＝p的轉置矩陣ap，即p的逆矩陣＝p的轉置矩陣。

如果不進行正交化和對角化則只是p的逆矩陣ap＝b 即a b相似。

擴充套件資料：

實對稱矩陣主要性質：

1.實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。

2.實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。

3.n階實對稱矩陣a必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。

4.若λ0具有k重特徵值　必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λ0e-a)=n-k，其中e為單位矩陣。

3樓：king李澤言

因為實對稱矩陣是特殊的矩陣他的特點就是可以正交對角化（一般的矩陣只能相似對角化）即把特徵向量組成的矩陣再進行斯密特正交化以及單位化這樣做的目的是使得 p的逆矩陣ap＝p的轉置矩陣ap 即p的逆矩陣＝p的轉置矩陣如果不進行正交化和對角化則只是p的逆矩陣ap＝b 即a b相似。

實對稱矩陣為什麼對角化時要單位化正交化

4樓：員墨徹淡碧

^一般情況下只需矩陣的相似對角化

但對二次型f=

x^tax,

a是實對稱矩陣,

將二次型版化為標準形時

權,涉及矩陣a的對角化,

此時需要變換x=py

是正交變換.

這樣的話,

p^t=p^-1所以f

=yp^tapy=y

p^1apy

5樓：本元斐史辰

為了使copy作用矩陣p成為「正交矩陣」（「正交矩陣」的列向量是單位化正交化

的）。這樣才可以使「合同」與「相似」統一起來。從而才可以用「特徵方法」

解決實對稱矩陣「合同」於對角陣的問題。

（p^（-1）ap＝p′ap＝對角陣,一定要p^（-1）＝p′.

o.k?）