1樓：娛樂小八卦啊
用極座標、直角座標變換公式+拉普拉斯方程得來。
推倒過程如下：
u''xx+u''yy=0
x=ρcosα，y=ρsinα
∂u/∂ρ=∂u/∂x.∂x/∂ρ+∂u/∂y.∂y/∂ρ=u'x.cosα+u'y.sinα
∂²u/∂ρ²=cosα(u''xx.x'ρ+u''xy.y'ρ)+sinα(u''yy.y'ρ+u''yx.x'ρ)
=cosα(u''xx.cosα+u''xy.sinα)+sinα(u''yy.sinα+u''yx.cosα)
=u''xx.cos²α+2u''xy.sinαcosα+u''yy.sin²α
ρ²∂²u/∂ρ²=ρ²u''xx.cos²α+2ρ²u''xy.sinαcosα+ρ²u''yy.sin²α.....（1）
∂u/∂α=∂u/∂x.∂x/∂α+∂u/∂y.∂y/∂α=u'x.（-ρsinα）+u'y.ρcosα
∂²u/∂α²=（-ρsinα）（u''xx.x'α+u''xy.y'α）+ρcosα(u''yx.
x'α+u''yy.y'α)-u'x.（ρcosα）-u'y.
ρsinα
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)
-ρ[u'x.cosα+u'y.sinα]
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)
-ρ∂u/∂ρ
=ρ²sin²αu''xx-2ρ²u''xysinαcosα+ρ²u''yy.cos²α-ρ∂u/∂ρ.........（2）
（1）+（2）
ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²=ρ²u''xx（cos²α+sin²α）+ρ²u''yy.（cos²α+sin²α）+2ρ²u''xy.sinαcosα-2ρ²u''xysinαcosα-ρ∂u/∂ρ
=ρ²u''xx+ρ²u''yy-ρ∂u/∂ρ
=ρ²（u''xx+u''yy）-ρ∂u/∂ρ
=-ρ∂u/∂ρ
ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²+ρ∂u/∂ρ=0
∂²u/∂ρ²+(1/ρ²)∂²u/∂α²+(1/ρ)∂u/∂ρ=0
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基本概述
乙個彎曲的表面稱為曲面，通常用相應的兩個曲率半徑來描述曲面，即在曲面上某點作垂直於表面的直線，再通過此線作一平面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點與曲線相切的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑r1。
通過表面垂線並垂直於第乙個平面再作第二個平面並與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑r2，用 r1與r2可表示出液體表面的彎曲情況。
在數理方程中
拉普拉斯方程為：
，其中∇²為拉普拉斯運算元，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變數x、y、z二階可微的實函式φ ：
其中∇²稱為拉普拉斯運算元。
拉普拉斯方程的解稱為調和函式。
如果等號右邊是乙個給定的函式f（x，y，z），即：
（可以在任意維空間中定義這樣的運算元）稱為拉普拉斯運算元，英文是laplace operator或簡稱作laplacian。
參考資料
2樓：
用極座標、直角座標變換公式+拉普拉斯方程得來。
u''xx+u''yy=0
x=ρcosα，y=ρsinα
∂u/∂ρ=∂u/∂x.∂x/∂ρ+∂u/∂y.∂y/∂ρ=u'x.cosα+u'y.sinα
∂²u/∂ρ²=cosα(u''xx.x'ρ+u''xy.y'ρ)+sinα(u''yy.y'ρ+u''yx.x'ρ)
=cosα(u''xx.cosα+u''xy.sinα)+sinα(u''yy.sinα+u''yx.cosα)
=u''xx.cos²α+2u''xy.sinαcosα+u''yy.sin²α
ρ²∂²u/∂ρ²=ρ²u''xx.cos²α+2ρ²u''xy.sinαcosα+ρ²u''yy.sin²α.....（1）
∂u/∂α=∂u/∂x.∂x/∂α+∂u/∂y.∂y/∂α=u'x.（-ρsinα）+u'y.ρcosα
∂²u/∂α²=（-ρsinα）（u''xx.x'α+u''xy.y'α）+ρcosα(u''yx.
x'α+u''yy.y'α)-u'x.（ρcosα）-u'y.
ρsinα
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)
-ρ[u'x.cosα+u'y.sinα]
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)
-ρ∂u/∂ρ
=ρ²sin²αu''xx-2ρ²u''xysinαcosα+ρ²u''yy.cos²α-ρ∂u/∂ρ.........（2）
（1）+（2）
ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²=ρ²u''xx（cos²α+sin²α）+ρ²u''yy.（cos²α+sin²α）+2ρ²u''xy.sinαcosα-2ρ²u''xysinαcosα-ρ∂u/∂ρ
=ρ²u''xx+ρ²u''yy-ρ∂u/∂ρ
=ρ²（u''xx+u''yy）-ρ∂u/∂ρ
=-ρ∂u/∂ρ
ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²+ρ∂u/∂ρ=0
∂²u/∂ρ²+(1/ρ²)∂²u/∂α²+(1/ρ)∂u/∂ρ=0
3樓：雨說情感
推導過程如下：
u''xx+u''yy=0
x=ρcosα，y=ρsinα
∂u/∂ρ=∂u/∂x.∂x/∂ρ+∂u/∂y.∂y/∂ρ=u'x.cosα+u'y.sinα
∂²u/∂ρ²=cosα(u''xx.x'ρ+u''xy.y'ρ)+sinα(u''yy.y'ρ+u''yx.x'ρ)
=cosα(u''xx.cosα+u''xy.sinα)+sinα(u''yy.sinα+u''yx.cosα)
=u''xx.cos²α+2u''xy.sinαcosα+u''yy.sin²α
ρ²∂²u/∂ρ²=ρ²u''xx.cos²α+2ρ²u''xy.sinαcosα+ρ²u''yy.sin²α.....（1）
∂u/∂α=∂u/∂x.∂x/∂α+∂u/∂y.∂y/∂α=u'x.（-ρsinα）+u'y.ρcosα
∂²u/∂α²=（-ρsinα）（u''xx.x'α+u''xy.y'α）+ρcosα(u''yx.
x'α+u''yy.y'α)-u'x.（ρcosα）-u'y.
ρsinα
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.
（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)-ρ[u'x.cosα+u'y.
sinα]
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)-ρ∂u/∂ρ
=ρ²sin²αu''xx-2ρ²u''xysinαcosα+ρ²u''yy.cos²α-ρ∂u/∂ρ.........（2）（1）+（2）
ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²=ρ²u''xx（cos²α+sin²α）+ρ²u''yy.（cos²α+sin²α）+2ρ²u''xy.sinαcosα-2ρ²u''xysinαcosα-ρ∂u/∂ρ
=ρ²u''xx+ρ²u''yy-ρ∂u/∂ρ
=ρ²（u''xx+u''yy）-ρ∂u/∂ρ
=-ρ∂u/∂ρ
ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²+ρ∂u/∂ρ=0
∂²u/∂ρ²+(1/ρ²)∂²u/∂α²+(1/ρ)∂u/∂ρ=0
拉普拉斯方程是由皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（pierre-simon laplace）首先提出而得名的。拉普拉斯則是一位世界著名的法國數學家，在維基百科上甚至有數個被冠以他的名字的頁面。
在2023年，他證明了在天文時間單位裡，太陽系是乙個穩定的系統，推翻了乙個世紀前牛頓的假設。在這個過程中，拉普拉斯方程誕生了。
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對乙個一邊長為dl1、dl2的面元，若其曲率不等於零。則表面張力的合力在曲面法線方向有分量，表面兩側應有與之平衡的壓差。壓差和表面張力之間的關係由下列拉普拉斯公式給出：
δp = γ(1/r1+1/r2)
r1、r2是曲面上任意兩個正交方向上的曲率半徑。
根據規定，凸面的曲率半徑取正值，凹面的曲率半徑取負值；所以，凸面的附加壓力指向液體，凹面的附加壓力指向氣體（外部），即附加壓力總是指向球面的球心的。
（1）當r1=r2 時，即，為球面時，就有：
δp = 2γ/r，
即，我們教材中介紹的附加壓力計算公式。
（2）當是平面液體時，r1和r2都是趨近於∞，對應的附加壓力為0.
（3）如果是乙個圓柱體，則對應的只有乙個r1，r2=∞，δp = γ/r。
（4）如果是乙個液膜氣泡，則內外有兩個球型介面，所以δp = 4γ/r.
（5）如果是乙個馬鞍形面，在馬鞍點上，當r1=-r2，δp=0.
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