1樓：小陽同學
平面方程兩邊乘以4，得z+2x+4\3y＝4，所以積分∫∫(z+2x+4\3y)ds＝∫∫4ds，接下來計算平面與三座標軸的三個交點圍成的△的面積即可；
方法不唯一，比如計算四面體的體積，而原點到平面的距離可求，所以三角形的面積可求。
也可以把曲面積分化為二重積分，求出z對x，y的偏導數，ds＝√(61)/3dxdy，∑在xoy面上的投影區域由x＝0，y＝0，x\2+y\3=1圍成；
所以∫∫(z+2x+4\3y)ds＝∫∫4ds＝∫∫4×√(61)/3dxdy＝4×√(61)/3×1/2×2×3＝4√(61)
基本介紹
積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。
比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
計算對面積的曲面積分∫∫xzds,其中∑為平面x+y+z=1的第四卦限部分
2樓：匿名使用者
^z=1-x-y，∂z/∂x=∂z/∂y=-1原式=∫∫(dxy)x(1-x-y)*√
內3dxdy
=√3*∫(0,1)dx*∫(x-1,0)x(1-x-y)dy=√3*∫(0,1)xdx*(y-xy-(y^容2)/2)|(x-1,0)
=√3*∫(0,1)xdx*(-2x+1+x^2+(x-1)^2/2)
=(3√3)/2*∫(0,1)(x^3-2x^2+1)dx=(3√3)/2*[(x^4)/4-(2x^3)/3+x]|(0,1)
=(3√3)/2*(1/4-2/3+1)
=(7√3)/8
計算曲面積分∫∫∑ z^2 ds其中 ∑為柱面x^2+y^2=4 介於0≤z≤6的部分
3樓：匿名使用者
考慮yz面
σ₁：x = √(4 - y²) 或 σ₂：x = - √(4 - y²)
dx/dy = - y/√(4 - y²)
dx/dz = 0
∫∫σ z² ds
= 2∫∫σ₁ z² ds，關於x前後對稱
= 2∫∫d z² * √(1 + y²/(4 - y²)) dydz
= 2∫∫d z² * 2/√(4 - y²) dydz
= 8∫(0，6) z² dz ∫(0，2) 1/√(4 - y²) dy
= 8 * z³/3 |(0，6) * arcsin(y/2) |(0，2)
= (8/3)(216)(π/2)
= 288π
設∑為平面x/2+y/3+z/4＝1在第一卦限的部分，則∫∫（z+2x+4/3y）ds＝
4樓：會飛的小兔子
解∑：0e=5，g=25/9，f=8/3，√（eg-f^)=√61/3，
原式=∫<0,2>dx∫<0,3-3x/2>(4-2x-4y/3+2x+4y/3)√61/3*dy
=(√61/3）∫<0,2>4(3-3x/2)dx
=(√61/3）(12x-3x^)|<0,2>
=4√61。
擴充套件資料
通過法向量的方向餘弦 相聯絡； 有向曲面元: ds = n*ds = (dydz,dzdx,dxdy), n =(cosα，cosβ，cosγ)為 點(x,y,z)處 的單位法向量。
定義在曲面上的函式或向量值函式關於該曲面的積分。曲面積分一般分成第一型曲面積分和第二型曲面積分。
第一型曲面積分物理意義**於對給定密度函式的空間曲面，計算該曲面的質量。第二型曲面積分物理意義**對於給定的空間曲面和流體的流速，計算單位時間流經曲面的總流量。
5樓：匿名使用者
∑：0dx∫<0,3-3x/2>(4-2x-4y/3+2x+4y/3)dy
=∫<0,2>4(3-3x/2)dx
=(12x-3x^)|<0,2>
=12.
利用高斯公式計算曲面積分，∫∫(∑)x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy,其中∑為平面x 100
6樓：尹六六老師
根據高斯公式
原式=∫∫∫(ω)(2x+2y+2z)dxdydz=2∫(0→1)dx∫(0→1-x)dy∫(0→1-x-y)(x+y+z)dz
=∫(0→1)dx∫(0→1-x)[1-(x+y)²]dy=∫(0→1)(2/3-x+1/3x³)dx=1/4
計算曲面積分x 3dydz y 3dzdx z 3dxd
蒼士恩愈嫻 解 在半球面 上新增圓面s x y 1，z 0 使之構成封閉曲面v s。x dydz y dzdx z dxdy 0 z 0，dz 0 x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy 3x 3y 3z dxdydz 應用高斯公式 3 x y z dxd...
第一型曲面積分的計算問題。
1 第一類沒方向，有幾何意義和物理意義 第二類有方向，只有物理意義。2 一類曲線是對曲線的長度，二類是對x,y座標。怎麼理解呢？告訴你一根線的線密度，問你線的質量，就要用一類。告訴你路徑曲線方程，告訴你x,y兩個方向的力，求功，就用二類。二類曲線也可以把x,y分開，這樣就不難理解一二類曲線積分之間的...
求對面積的曲面積分zds,其中為半球面x 2 y 2 z 2 R 2 y
理解對面積的曲面積分的物理意義對於解題很有幫助。把被積函式z看做球體表面面密度，然後再對曲面積分，即求球表面質量。然後看題目給的條件 x 2 y 2 z 2 r 2 z是關於x，y的曲面函式 r是已知量 z 2 r 2 x 2 y 2 等式兩邊開根號得到兩個z的表示式，即 上半球 z1 r 2 x ...