1樓：蒼士恩愈嫻
解：在半球面∑上新增圓面s：(x²+y²=1，z=0)，使之構成封閉曲面v=∑+s。
∵∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=0
(∵z=0，∴dz=0)
∴∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy+∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=∫∫∫(3x²+3y²+3z²)dxdydz
(應用高斯公式)
=3∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz
=3∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,1>r²*r²sinφdr
(作球面座標變換)
=3*(2π)*(cos(0)-cos(π/2))*(1^5/5-0^5/5)
=6π/5
故∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=∫∫∫(3x²+3y²+3z²)dxdydz-∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=6π/5-0
=6π/5。
2樓：戈墨徹春辛
解：在半球面∑上新增圓面s：(x²+y²=1，z=0)，使之構成封閉曲面v=∑+s。
∵∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=0
(∵z=0，∴dz=0)
∴∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy+∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=∫∫∫(3x²+3y²+3z²)dxdydz
(應用高斯公式)
=3∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz
=3∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,1>r²*r²sinφdr
(作球面座標變換)
=3*(2π)*(cos(0)-cos(π/2))*(1^5/5-0^5/5)
=6π/5
故∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=∫∫∫(3x²+3y²+3z²)dxdydz-∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=6π/5-0
=6π/5。
i=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,積分曲面為上半球面z=√a^2-x^2-y^2外側
3樓：匿名使用者
就一個答案
因為分母x^2+y^2+z^2在曲面σ：x^2+y^2+z^2=a^2上
所以可以直接把含有x^2+y^2+z^2的都換為a^2
這是曲線和曲面積分的特性，就能省去挖孔的步驟
但是，若這裡的分母不是x^2+y^2+z^2的話，比如x^2+2y^2+3z^2
做法就不同了，不能直接代入，而是需要挖一個x^2+2y^2+3z^2=t^2,t->0
的小橢球，來避免奇點，這樣圍成的曲面就能用高斯公式了
再詳細一點的，
許多人都把重積分和線面積分都混淆了
實際上重積分是不能直接這樣代入的
因為重積分的方程是x^2+y^2+z^2≤a^2
但是面積分的方程是x^2+y^2+z^2=a^2
這個不等號和等號是關鍵所在了
重積分方程要用等號表示時，一定要說明由是哪些曲面圍成的封閉體積
例如由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的體積，這裡可用等號表示
或者直接說體積範圍是z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)
但是，對於曲面積分，就不能用z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)來表示了
只能說由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的曲面的全外側等等
也有一個要點
當是全外(內)側的曲面積分時，若被積函式有相應的積分方程式子
可以先直接代入，但是用了高斯公式變為三重積分後，就不能這麼做了，要注意哦
計算曲面積，i=?(x3+z2)dydz+（y3+x2）dzdx+（z3+y2）dxdy，其中∑為上半球面z=1?x2?y2的上側
4樓：世致
新增曲面s：x
+y≤1
z＝0，方向為z軸的負方向．
令∑和s1所圍成的空間區域為ω，根據高斯公式可得，i1=?
∑+s(x
+z)dydz+(y
+x)dzdx+(z
+y)dxdy=?ω
3(x+y
+z)dxdy
=3∫ 2π0
dθ∫π2
0sinφdφ∫1
0ρdρ=65π．
又因為i2=?s(x
+z)dydz+(y
+x)dzdx+(z
+y)dxdy=?s
ydxdy
=??x
+y≤1
ydxdy
=-∫2π
0sin
θdθ∫10
rdr=-π4
，所以，
i=i1-i2 =65
π+π4
=2920π．
計算曲面積分z 2x 4 3 y dS其中為平面x 4 1在第一卦限部
小陽同學 平面方程兩邊乘以4，得z 2x 4 3y 4，所以積分 z 2x 4 3y ds 4ds，接下來計算平面與三座標軸的三個交點圍成的 的面積即可 方法不唯一，比如計算四面體的體積，而原點到平面的距離可求，所以三角形的面積可求。也可以把曲面積分化為二重積分，求出z對x，y的偏導數，ds 61 ...
第一型曲面積分的計算問題。
1 第一類沒方向，有幾何意義和物理意義 第二類有方向，只有物理意義。2 一類曲線是對曲線的長度，二類是對x,y座標。怎麼理解呢？告訴你一根線的線密度，問你線的質量，就要用一類。告訴你路徑曲線方程，告訴你x,y兩個方向的力，求功，就用二類。二類曲線也可以把x,y分開，這樣就不難理解一二類曲線積分之間的...
求對面積的曲面積分zds,其中為半球面x 2 y 2 z 2 R 2 y
理解對面積的曲面積分的物理意義對於解題很有幫助。把被積函式z看做球體表面面密度，然後再對曲面積分，即求球表面質量。然後看題目給的條件 x 2 y 2 z 2 r 2 z是關於x，y的曲面函式 r是已知量 z 2 r 2 x 2 y 2 等式兩邊開根號得到兩個z的表示式，即 上半球 z1 r 2 x ...