證明直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半附圖

時間 2021-10-15 00:24:27

1樓:匿名使用者

延長bd到e,使ed=bd,連線ce

∵bd為ac中線

∴ad=cd

在△abd和△ced中

ad=cd

∠adb=∠cde

bd=ed

∴△abd≌△ced

∴ce=ab,∠a=∠ace

suoyi5ab∥ce

∴∠abc=∠bce=90°

在△abc和△bce中

ab=ec

∠abc=∠bce

bc=ce

∴△abc≌△bce

∴be=ac

∴bd=½be

∴bd=½ac

即在直角三角形中,斜邊上的中線是斜邊的一半雖然回答完了一年  但應該對其他人有幫助吧

2樓:

如圖,取bc中點e,則de為中位線,de平行於ab所以de垂直於bc

de=de,be=ce,∠deb=∠dec所以△deb≌△dec

db=dc,又ad=dc

故bd=1/2 ac

3樓:手機使用者

因為be=ea,bd=dc,

所以ed∥ac,

又因為,∠a=90°,

所以∠bed=90°,

∠bed=∠aed=90°,be=ae,ed=ed(三角形全等:邊角邊)

所以,△bed≌△aed,

所以bd=ad,

同理ad=cd(△adf≌△cdf),

所以ad=cd,

所以ad=bd=cd,

所以直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半,證畢。

4樓:匿名使用者

在三角形abc中,∠a=90°,ad為bc邊上的中線,做ab、ac的中點e、f,連線ed、df,

因為be=ea,bd=dc,

所以ed∥ac,

又因為,∠a=90°,

所以∠bed=90°,

∠bed=∠aed=90°,be=ae,ed=ed(三角形全等:邊角邊)

所以,△bed≌△aed,

所以bd=ad,

同理ad=cd(△adf≌△cdf),

所以ad=cd,

所以ad=bd=cd,

所以直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半,證畢。

怎麼證明定理直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半

5樓:匿名使用者

直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半。

設在直角三角形abc中,∠bac=90°,ad是斜邊bc的中線,求證:ad=1/2bc。

【證法1】

延長ad到e,使de=ad,連線ce。

∵ad是斜邊bc的中線,

∴bd=cd,

又∵∠adb=∠edc(對頂角相等),

ad=de,

∴△adb≌△edc(sas),

∴ab=ce,∠b=∠dce,

∴ab//ce(內錯角相等,兩直線平行)

∴∠bac+∠ace=180°(兩直線平行,同旁內角互補)∵∠bac=90°,

∴∠ace=90°,

∵ab=ce,∠bac=eca=90°,ac=ca,∴△abc≌△cea(sas)

∴bc=ae,

∵ad=de=1/2ae,

∴ad=1/2bc。

【證法2】

取ac的中點e,連線de。

∵ad是斜邊bc的中線,

∴bd=cd=1/2bc,

∵e是ac的中點,

∴de是△abc的中位線,

∴de//ab(三角形的中位線平行於底邊)∴∠dec=∠bac=90°(兩直線平行,同位角相等)∴de垂直平分ac,

∴ad=cd=1/2bc(垂直平分線上的點到線段兩端距離相等)。

【證法3】

延長ad到e,使de=ad,連線be、ce。

∵ad是斜邊bc的中線,

∴bd=cd,

又∵ad=de,

∴四邊形abec是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形),∵∠bac=90°,

∴四邊形abec是矩形(有乙個角是90°的平行四邊形是矩形),∴ae=bc(矩形對角線相等),

∵ad=de=1/2ae,

∴ad=1/2bc。

6樓:粽粽有料

▶延長ad到e,使de=ad,連線be、ce。

∵ad是斜邊bc的中線,

∴bd=cd,

又∵ad=de,

∴四邊形abec是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形),∵∠bac=90°,

∴四邊形abec是矩形(有乙個角是90°的平行四邊形是矩形),∴ae=bc(矩形對角線相等),

∵ad=de=1/2ae,

∴ad=1/2bc。

7樓:夜空中一片雲

定理:如果乙個三角形是直角三角形,那麼這個三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。

δabc是直角三角形,ad是bc上的中線,作ab的中點e,連線de∴bd=cb/2,de是δabc的中位線

∴de‖ac(三角形的中位線平行於第三邊)∴∠deb=∠cab=90°(兩直線平行,同位角相等)∴de⊥ab

∴de是ab的垂直平分線

∴ad=bd(線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等)∴ad=cb/2

8樓:少女心的女漢子

設在直角三角形abc中,∠bac=90°,ad是斜邊bc的中線,求證:ad=1/2bc。

延長ad到e,使de=ad,連線ce。

∵ad是斜邊bc的中線,

∴bd=cd,

又∵∠adb=∠edc(對頂角相等),

ad=de,

∴△adb≌△edc(sas),

∴ab=ce,∠b=∠dce,

∴ab//ce(內錯角相等,兩直線平行)

∴∠bac+∠ace=180°(兩直線平行,同旁內角互補)∵∠bac=90°,

∴∠ace=90°,

∵ab=ce,∠bac=eca=90°,ac=ca,∴△abc≌△cea(sas)

∴bc=ae,

∵ad=de=1/2ae,

∴ad=1/2bc。

如何證明直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半

9樓:babyan澀

證法1:

δabc是直角三角形,作ab的垂直平分線n交bc於d

∴ ad=bd(線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等)

以db為半徑,d為圓心畫弧,與bc在d的另一側交於c'

∴dc』=ad=bd∴∠bad=∠abd ∠c』ad=∠ac』d (等邊對等角)

又∵∠bad+∠abd+∠c』ad+∠ac』d =180°(三角形內角和定理)

∴∠bad+∠c』ad=90° 即:∠bac』=90°

又∵∠bac=90°

∴∠bac=∠bac』

∴c與c』重合(也可用垂直公理證明 :假使c與c』不重合 由於ca⊥ab,c』a⊥ab 故過a有ca、c』a兩條直線與ab垂直 這就與垂直公理矛盾 ∴假設不成立 ∴c與c』重合)

∴dc=ad=bd∴ad是bc上的中線且ad=bc/2這就是直角三角形斜邊上的中線定理

證法2:

δabc是直角三角形,ad是bc上的中線,作ab的中點e,連線de

∴bd=cb/2,de是δabc的中位線

∴de‖ac(三角形的中位線平行於第三邊)

∴∠deb=∠cab=90°(兩直線平行,同位角相等)

∴de⊥ab

∴e是ab的垂直平分線

∴ad=bd(線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等)

∴ad=cb/2

證法3:運用向量證明

已知rt△abc中,∠bac=90°,ad是中線。求證bc=2ad

證明:設向量ac=b,向量ab=c,向量bc=a,向量ad=d

∵ad是bc的中線

∴c+b=2d

∴(c+b)²=4d²

括號,得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²

又∵c⊥b

∴c·b=0,|c|²+|b|²=|a|²

∴得|a|²=4|d|²

開方得|a|=2|d|,即bc=2ad

證法4:運用矩形的性質證明

延長ad到e,使de=ad,連線be,ce

∵bd=cd,∠bac=90°

∴四邊形abec是矩形

∴bc=ae=2ad

證法5:解析幾何證明

以a為原點,ac為x軸,ab為y軸建立直角座標系,並設c(2c,0),b(0,2b),那麼d(c,b)

證法6:圓

作rt△abc外接圓

∵∠bac=90°

∴bc是直徑(90°的圓周角所對的弦是直徑)

∴d是圓心,ad是半徑

∴bc=2ad

10樓:允藉拱昕靚

直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半。

設在直角三角形abc中,∠bac=90°,ad是斜邊bc的中線,求證:ad=1/2bc。

【證法1】

延長ad到e,使de=ad,連線ce。

∵ad是斜邊bc的中線,

∴bd=cd,

又∵∠adb=∠edc(對頂角相等),

ad=de,

∴△adb≌△edc(sas),

∴ab=ce,∠b=∠dce,

∴ab//ce(內錯角相等,兩直線平行)

∴∠bac+∠ace=180°(兩直線平行,同旁內角互補)∵∠bac=90°,

∴∠ace=90°,

∵ab=ce,∠bac=eca=90°,ac=ca,∴△abc≌△cea(sas)

∴bc=ae,

∵ad=de=1/2ae,

∴ad=1/2bc。

向左轉|向右轉

【證法2】

取ac的中點e,連線de。

∵ad是斜邊bc的中線,

∴bd=cd=1/2bc,

∵e是ac的中點,

∴de是△abc的中位線,

∴de//ab(三角形的中位線平行於底邊)∴∠dec=∠bac=90°(兩直線平行,同位角相等)∴de垂直平分ac,

∴ad=cd=1/2bc(垂直平分線上的點到線段兩端距離相等)。

向左轉|向右轉

【證法3】

延長ad到e,使de=ad,連線be、ce。

∵ad是斜邊bc的中線,

∴bd=cd,

又∵ad=de,

∴四邊形abec是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形),∵∠bac=90°,

∴四邊形abec是矩形(有乙個角是90°的平行四邊形是矩形),∴ae=bc(矩形對角線相等),

∵ad=de=1/2ae,

∴ad=1/2bc。

向左轉|向右轉

11樓:奈羽續基

連線斜邊中點和其中一條直角邊中點,因為兩個都是中點,因此這條是中位線,所以垂直該直角邊

靠該直角邊一側的三角形中線垂直平分底邊,因此此中線(1的中位線)分該三角形為兩個全等三角形,因此對邊相等(直角三角形中線和斜邊的一半)

然後就得出來了.......

如何證明直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半

hi漫海 如圖 cd是直角三角形abc的斜邊ab上的中線.取ac的中點e,連結de,因為 d是ab中點,所以 de是中位線,de bc,因為 角acb是直角,所以 de垂直於ac,又因為 e是ac的中點,所以 de是ac的垂直平分線,所以 ad cd 線段的垂直平分線上的任意一點到線段兩端的距離相等...

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