1樓：董小姐一人一份酸菜魚
卡爾丹公式法
特殊型一元三次方程x^3+px+q=0 (p、q∈r)。
判別式δ=(q/2)^2+(p/3)^3。
卡爾丹公式
x1=(y1)^(1/3)+(y2)^(1/3)；
x2= (y1)^(1/3)ω+(y2)^(1/3)ω^2；
x3=(y1)^(1/3)ω^2+(y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；
y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
標準型一元三次方程ax ^3+bx ^2+cx+d=0，（a，b，c，d∈r，且a≠0）。
令x=y—b/(3a)代入上式。
可化為適合卡爾丹公式直接求解的特殊型一元三次方程y^3+py+q=0。
卡爾丹判別法
當δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根；
當δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根；
當δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，方程有三個不相等的實根。
因式分解法
因式分解法不是對所有的三次方程都適用，只對一些簡單的三次方程適用．對於大多數的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。當然，對一些簡單的三次方程能用因式分解求解的，當然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如：解方程x^3-x=0
對左邊作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三個根：x1=0；x2=1；x3=-1。
一種換元法
對於一般形式的三次方程，先將方程化為x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z，代入並化簡，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得：
w^2-p/27w+q=0．這實際上是關於w的二次方程。解出w，再順次解出z，x。
導數求解法
利用導數，求的函式的極大極小值，單調遞增及遞減區間，畫出函式影象，有利於方程的大致解答，並且能快速得到方程解的個數，此法十分適用於高中數學題的解答。
如f(x）=x^3+x+1,移項得x^3+x=-1,設y1=x^3+x,y2=-1,
y1的導數y1'=3x^2+1,得y1'恆大於0，y1在r上單調遞增，所以方程僅一個解，且當y1=-1時x在-1與-2之間，可根據f(x1)f(x2)<0的公式，無限逼近，求得較精確的解。
盛金公式法
三次方程應用廣泛。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，並有相應的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較複雜，缺乏直觀性。範盛金推匯出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，並建立了新判別法——盛金判別法。
標準型的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0（a，b，c，d∈r，且a≠0）。
2樓：匿名使用者
一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0
x³+bx²/a+cx/a+d/a=0 令y=x-b/(3a)代入可化為
y³+py+q=0
設ω1=(-1+√3i)/2，ω2=(-1-√3i)/2則三個根分別為：
y1=³√+³√
y2=ω1³√+ω2³√
y3=ω2³√+ω1³√
還可以在網上搜一元三次方程的盛金公式。
3樓：休瑤渾鵑
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3
bx^2cxd
0的標準型一元三次方程形式化為x^3
pxq=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如x^3
pxq=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=a^(1/3)
b^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方里面的內容，也就是用p和q表示a和b。方法如下：
（1）將x=a^(1/3)
b^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(a
b)3(ab)^(1/3)(a^(1/3)
b^(1/3))
（3）由於x=a^(1/3)
b^(1/3)，所以（2）可化為
x^3=(a
b)3(ab)^(1/3)x，移項可得
（4）x^3－3(ab)^(1/3)x－(a
b)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3
pxq=0作比較，可知
(5)－3(ab）^（1/3）＝p,－(a
b)=q，化簡得
（6）a
b＝－q，ab＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為a和b可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2
byc=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8），可令a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由於型為ay^2
byc=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)
((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)a＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
b＝－(q/2)
((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將a，b代入x=a^(1/3)
b^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
（－(q/2)
((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式(14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了
一元三次方程求根公式
4樓：神威魔力
一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=a^(1/3)+b^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方里面的內容，也就是用p和q表示a和b。
方法如下：
（1）將x=a^(1/3)+b^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(a+b)+3(ab)^(1/3)(a^(1/3)+b^(1/3))
（3）由於x=a^(1/3)+b^(1/3)，所以（2）可化為
x^3=(a+b)+3(ab)^(1/3)x，移項可得
（4）x^3－3(ab)^(1/3)x－(a+b)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知
(5)－3(ab）^（1/3）＝p,－(a+b)=q，化簡得
（6）a+b＝－q，ab＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為a和b可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8），可令a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)a＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
b＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將a，b代入x=a^(1/3)+b^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了
5樓：
高等數學並沒有說三次方程沒有求根公式。事實上，3次和4次方程都有求根公式，5次及以上的高次方程才沒有一般的解析公式。
3次方程求根公式是著名的卡爾丹公式
方程x^3+px+q=0的三個根為
x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
其中w=(-1+√3i)/2.
推導過程：
1、方程x^3=1的解為x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=a的解為x1=a（1/3）,x2=a^(1/3)*ω,x3= a^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時除以a,可變成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高項，變成x^3+px+q=0的形式。
設x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①
如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立，由一元二次方程韋達定理u^3和v^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的兩個根。
解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨設a=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),b=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
則u^3=a,v^3=b
u= a（1/3）或者a^(1/3)*ω或者a^(1/3)*ω^2
v= b（1/3）或者b^(1/3)*ω或者b^(1/3)*ω^2
但是考慮到uv=-p/3，所以u、v只有三組解：
u1= a（1/3）,v1= b（1/3）
u2=a^(1/3)*ω,v2=b^(1/3)*ω^2
u3=a^(1/3)*ω^2,v3=b^(1/3)*ω
那麼方程x^3+px+q=0的三個根也出來了，即
x1=u1+v1= a（1/3）+b（1/3）
x2= a^(1/3)*ω+b^(1/3)*ω^2
x3= a^(1/3)*ω^2+b^(1/3)*ω
這正是著名的卡爾丹公式。你直接套用就可以求解了。
△=q^2/4+p^3/27為三次方程的判別式。
當△>=0時，有一個實根和兩個共軛復根；
當△<0時，有三個實根。
根與係數關係是：設ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根為x1,x2,x3,
則x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.
一元三次方程的一般解，一元三次方程的一般解法
一元三次方程求根公式的解法 摘自高中數學 一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax 3 bx 2 cx d 0的標準型一元三次方程形式化為x 3 px q 0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程 ...
一元三次方程的解法，一元三次方程的解法，簡單易懂
慕容雲明 一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax 3 bx 2 cx d 0的標準型一元三次方程形式化為x 3 px q 0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程 一元二次方程及特殊的高次方程的求...
一元三次方程的根的公式推導，一元三次方程根的形式是怎麼歸納出來的？
任意實係數三次方程的古典解法 對於ax bx cx d 0 a 0 先做代換 x y b 3a 方程可轉換為 y py q 0 其中p c b 3a q d 2b 9abc 27a 令y m n，且m m n n 代入上述方程得到 m n p m n q 0 m n p 3mn q m n 0 若滿...