1樓：匿名使用者
一元三次方程的標準形：ax^3+bx^2+cx+d=0， 令x=y—b/(3a)，代入上式，得： 一元三次方程的特殊形：x^3+px+q=0。
編輯本段一元三次方程的韋達定理
設方程為 ax^3+bx^2+cx+d=0， 則有 x1·x2·x3=—d/a； x1·x2+x1·x3+x2·x3=c/a； x1+x2+x3=—b/a。
編輯本段一元三次方程解法思想
一元三次方程解法思想是：通過配方和換元，使三次方程降次為二次方程求解．
編輯本段一元三次方程解法的發現
中國南宋偉大的數學家秦九韶在他2023年編寫的世界數學名著《數書九章》一書中提出了數字一元三次方程與任何高次方程的解法“正負開方術”，提出“商常為正，實常為負，從常為正，益常為負”的原則，純用代數加法，給出統一的運算規律，並且擴充到任何高次方程中去。這個方法比幾百年以後歐洲數學家所提出的計算方法要高明許多。現在，這種方法被後人稱為“秦九韶程式”。
世界各國從小學、中學到大學的數學課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則。 歐洲三次方程解法的發現是在16世紀的義大利，那時，數學家常常把自己的發現祕而不宣，而是向同伴提出挑戰，讓他們解決同樣的問題．想必這是一項很砥礪智力，又吸引人的競賽，三次方程的解法就是這樣發現的． 最初，有一個叫菲奧爾的人，從別人的祕傳中學會了解一些三次方程，便去向另一個大家稱為塔爾塔利亞的人挑戰．塔爾塔利亞原名豐塔納，小時因臉部受傷引起口吃，所以被人稱為塔爾塔利亞（意為”口吃者”）．他很聰明，又很勤奮，靠自學掌握了拉丁文，希臘文和數學．這次他成功解出了菲奧爾提出的所有三次方程，菲奧爾卻不能解答他提出的問題．當時很有名的卡爾丹於是懇求他傳授解三次方程的辦法，併發誓保守祕密，塔爾塔利亞才把他的方法寫成一句晦澀的詩交給卡爾丹．後來卡爾丹卻背信棄義，把這個方法發表在2023年出版的書裡．在書中他寫道：”波倫亞的費羅差不多在三十年前就發現了這個方法，並把它傳給了菲奧爾．菲奧爾在與塔爾塔利亞的競賽中使後者有機會發現了它．塔爾塔利亞在我的懇求下把方法告訴了我，但保留了證明．我在獲得幫助的情況下找出了它各種形式的證明．這是很難做到的．”卡爾丹的背信棄義使塔爾塔利亞很憤怒，他馬上寫了一本書，爭奪這種方法的優先權．他與卡爾丹的學生費拉里發生了公開衝突。
最後，這場爭論是以雙方的肆意謾罵而告終的。 三次方程解法發現的過程雖不愉快，但三次方程的解法被保留了下來。 由於卡爾丹在2023年首先發表了三次方程x^3+px+q=0的解法，因此數學資料稱此解法為“卡爾丹公式”並沿用至今。
以下介紹的三次方程x^3+px+q=0的解法，就是上文中提到的卡爾丹公式解法。
編輯本段一元三次方程的卡爾丹公式解法
2樓：匿名使用者
解:設一般的一元三次方程為 x^3+ax^2+bx+c=0
令 x=y-a/3,代入得
(y-a/3)^3+a(y-a/3)^2+b(y-a/3)+c=0
化簡得 y^3+(b-a^2/3)y+(2a^3/27-ab/3+c)=0
這就變成了缺二次項的三次方程.因此解一般的三次方程可歸結為解
形如 x^3+px+q=0 的方程.
令x=u+v,上式變為
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
為了求出u,v,只須設 3uv+p=0,從而有u^3+v^3+q=0.這就只要解方
程組:u^3+v^3=-q..................(1)
(u^3)(v^3)=-p^3/27..........(2)
由韋達定理可知 u^3,v^3是二次方程 t^2+qt-p^3/27=0
的根,解此方程得
u^3=t1=[-q+√(q^2+4p^3/27)]/2=-(q/2)+√[(q^2)/4+p^3/27]
v^3=t2=-(q/2)-√[(q^2)/4+p^3/27]
由於u和v的立方根各有三種取法(把u^3和v^3寫成複數的三角形式, 然後開立方),因而可得u+v的九組值,但九組值中只有三組滿足條件:
3uv+p=0.這三組才是原方程的根.這樣我們便得到用三次方程的係數
表示根的公式:x=u+v=
[-q/2+√(q^2/4+p^3/27)]^(1/3)+[-q/2-√(q^2/4+p^3/27)]^(1/3)
即是所謂的卡當公式.(此公式不好用,一般都不用它).
例:解方程 x^3+3x^2-3x-14=0
解:令x=y-1, 方程化為 y^3-6y-9=0(由此可知y=3是它的一個實數根,
因而可分解因式為(y-3)(y^2+3y+3)=0.若知道這麼解,下面的過程就
可全省去.作為上述解法的例項,我不用此法,繼續往下作.)
又設y=u+v,則得
u^3+v^3-9+(3uv-6)(u+v)=0
令3uv-6=0,故u^3+v^3-9=0
∴得方程組:
(u^3)(v^3)=8........(1)
u^3+v^3=9...........(2)
由韋達定理可得二次方程t^2-9t+8=(t-8)(t-1)=0,即
u^3=8,v^3=1.
寫成複數形式:
u^3=8(cos0°+isin0°)
v^3=cos0°+isin0°
於是u=2[cos(k*360°/3)+isin(k*360°/3)]
v=cos(k*360°/3)+isin(k*360°/3)
(k=o,1,2)
故u1=2, u2=2ω, u3=2ω^2, 其中ω=-1/2+i√3/2
v1=1, v2=ω^2, v3=ω.
(∵u1*v1=2; u2*v2=2ω^3=2*1=2; u3*v3=2ω^3=2,
滿足3uv-6=0)
∴y1=u1+v1=2+1=3; y2=u2+v2=2ω+ω^2=-3/2+i√3/2;
y3=u3+v3=2ω^2+ω=-3/2-i√3/2.
因此原方程的根為:
x1=y1-1=3-1=2; x2=y2-1=-5/2+i√3/2; x3=y3-1=-5/2-i√3/2.
從上面可以看出三次方程確實可解,但這種解法並不一定是簡捷的.特
別是,如果方程有有理根,那麼先用綜合除法找出有理根會更方便些
3樓：白璧微瑕的我
有例題麼 ，有就好辦了
三次方程怎麼求?
4樓：angela韓雪倩
x³-12x+16=0可以分解：
x³-4x-8x+16=0
x(x²-4)-8(x-2)=0
(x-2)(x²+2x-8)=0
(x-2)(x+4)(x-2)=0
得x=2, -4
x²-x²+x-1=0可以分解：
x²(x-1)+(x-1)=0
(x-1)(x²+1)=0
得x=1
則有x1·x2·x3=-d/a；
x1·x2+x1·x3+x2·x3=c/a；
x1+x2+x3=-b/a。
擴充套件資料：
一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0，（a，b，c，d∈r，且a≠0）。
重根判別式：a=b2－3ac；b=bc－9ad；c=c2－3bd，
總判別式：δ=b2－4ac。
當a=b=0時，盛金公式①：
x1=x2=x3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
當δ=b2－4ac>0時，盛金公式②：
x1=(－b－(y1)1/3－(y2)1/3)/(3a)；
x2,3=(－2b+(y1)1/3+(y2)1/3)/(6a)±i31/2((y1)1/3－(y2)1/3)/(6a)，
其中y1,2=ab+3a(－b±(b2－4ac)1/2)/2，i2=－1。
當δ=b2－4ac=0時，盛金公式③：
x1=－b/a+k；
x2=x3=－k/2，
其中k=b/a，(a≠0)。
當δ=b2－4ac<0時，盛金公式④：
x1=(－b－2a1/2cos(θ/3))/(3a)；
x2,3=(－b+a1/2)(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，
其中θ=arccost，t=(2ab－3ab)/(2a3/2)，(a>0，－1 5樓： 如果可以用試根法因式分解的話，就因式分解，否則就直接套用求根公式。 x³-12x+16=0可以分解： x³-4x-8x+16=0 x(x²-4)-8(x-2)=0 (x-2)(x²+2x-8)=0 (x-2)(x+4)(x-2)=0 得x=2, -4 x²-x²+x-1=0可以分解： x²(x-1)+(x-1)=0 (x-1)(x²+1)=0 得x=1 6樓：匿名使用者 x^3-4x-8x+16=0 x(x^2-4)-8(x-2)=0 x(x+2)(x-2)-8(x-2)=0 (x-2)(x^2+2x-8)=0 (x-2)(x+4)(x-2)=0 x=2 或x=-4 x^3-x^2+x-1=0 (x-1)x^2+(x-1)=0 (x-1)(x^2+1)=0 x=1 怎麼求一元三次方程 7樓：厚蕊真凰 解方程2x＾3－12x＾2＋11x－2=0 解：a=2，b=－12，c=11，d=－2。 a=78；b=－96；c=49， δ=－6072＜0。 應用盛金公式④求解。 θ=160.1628472°。 把有關值代入盛金公式④，得： x⑴=－0.2442506883； x⑵=4.924337034； x⑶=0.8314122775。 經用韋達定理檢驗，結果正確。 解方程2x＾3－12x＾2＋11x－4=0 解：a=2，b=－12，c=11，d=－4。 a=78；b=－60；c=－23， δ=10776＞0。 根據盛金判法，此方程是一個實根和一對共軛虛根。 應用盛金公式②求解。 y⑴=－444.5774575； y⑵=－1067.422543， 把有關值代入盛金公式②，得： x⑴=4.975343588； x(2,3) =0.5123282062±0.3734997957 i。經用韋達定理檢驗，結果正確。 cgmcgmwo問：一元三次方程2x^3-12x^2+11x-4=0的三個根本來是一個長方體的三個稜長，怎麼會出現兩個虛數根呢？ 原題是：長方體的三個稜長之和為6，體積為2，長方體的（立體）對角線為5，求這三個稜的長是多少？ 答：依題意，你求得一元三次方程2x^3-12x^2+11x-4=0是對的，我解得 x⑴=4.975343588； x(2,3) =0.5123282062±0.3734997957 i。也是對的。 問題出在這道題不符合實際情況，是出題有錯誤。 不妨編制一道類似題，來說明這個問題。 例如：已知長方體的三個稜長分別為2.34；3.45；4.56。 這樣我們可以編制一道類似題為： 長方體的三個稜長之和為10.35，體積為36.81288，長方體的（立體）對角線為38.1717，求這三個稜的長是多少？ （注：此題解得的結果必然是三個稜長分別為2.34；3.45；4.56，因為是依此實際情況編制的題。） 解這道題，如下： 解：設長方體的三個稜長分別為x、y、z，依題意： x＋y＋z=10.35； xyz=36.81288； x^2＋y^2＋z^2=38.1717。 解這個方程組，得 一元三次方程x＾3－10.35x＾2＋34.4754x－36.81288=0 解方程x＾3－10.35x＾2＋34.4754x－36.81288=0 解：a=2，b=－10.35，c=34.4754，d=－36.81288。 a=3.6963；b=－25.50447；c=45.51328116， δ=－22.44497463＜0。 根據盛金判法，此方程是三個不相等的實根。 應用盛金公式④求解。 θ=90°。 把有關值代入盛金公式④，得： x⑴=2.34；x⑵=4.56；x⑶=3.45。 所以，長方體的三個稜長分別為2.34；4.56；3.45。 如果這道題是這樣編制： 長方體的三個稜長之和為10.35，體積為6.81288，長方體的（立體）對角線為38. 1717，求這三個稜的長是多少？（注：把36. 81288誤寫成6.81288） 那麼這道題編制是有錯誤。 因為(2.34)(4.56)(3.45)≠6.81288， 所以不可能得出x⑴=2.34；x⑵=4.56；x⑶=3.45。 這說明，編制題要與實際情況相符。 齋昌冒堅 可用盛金公式 方法如下 一元三次方程ax3 bx2 cx d 0，a，b，c，d r，且a 0 重根判別式 a b2 3ac b bc 9ad c c2 3bd，總判別式 b2 4ac。當a b 0時，盛金公式 x1 x2 x3 b 3a c b 3d c。當 b2 4ac 0時，盛金公式... 還真有點難，反正樓上的答案是不對的 一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax 3 bx 2 cx d 0的標準型一元三次方程形式化為x 3 px q 0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程 一元二... 慕容雲明 一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax 3 bx 2 cx d 0的標準型一元三次方程形式化為x 3 px q 0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程 一元二次方程及特殊的高次方程的求...一元三次方程的求根公式，三次方程求根公式
解三次方程x 3 3x ，解三次方程x 3 3x
一元三次方程的解法，一元三次方程的解法，簡單易懂