導函式中間值定理如何證明。如圖小1已經給出輔助函式

1樓：匿名使用者

設f(x)=f(x)-c

已知連續區間(a,b)上兩點x1,x2且x1≠x2，f'(x1)≠f'(x2)

c是介於f'(x1)和f'(x2)之間的值不妨設f'(x1)＜c＜f'(x2)，反過來也一樣。

f'(x1)=f'(x1)-c＜0

f'(x2)=f'(x2)-c＞0

根據零點定理，至少存在乙個點ξ在x1和x2之間，使得f'(ξ)=0即f'(ξ)=c

這就是為什麼題目裡說這是導函式的零點定理證明。

2樓：匿名使用者

1.f(a)=f(b)

2.由f'(ξ)=0能得到f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),或者直接就是要滿足f'(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)

滿足這兩個條件的輔助函式就是f(x)=f(x)-2.你看一下我的詞條《導數表》,見參考資料3.拿微分考慮

y=a^x,兩邊微分得到dy=a^xlnadxdy/dx=a^xlna,dy/dx就是導數了,就是你習慣的y'

dx/dy就是反函式的導數,寫明白點就是x=log(a)y的導數我們看一下dx/dy的表示式：dx/dy=1/(lna*a^x)顯然a^x=y,我們代入dx/dy=1/(lna*a^x)得到dx/dy=1/(lna*y)

注意這裡自變數為y,因變數為x,我們把自變數和因變數互換一下即得到習慣的函式形式y(x)=log(a)x,我們看到dx/dy=1/(lna*y)中x變y,y變x後有dy/dx=1/(lna*x),這就是對數函式的導數了.或許講得有點亂,多想想應該就清楚了.

3樓：後會真的五期

圖中f(x1)的導數與f(x2)的導數符號相異，不妨設x10 ,f』(x2)<0.因此f(x)在閉區間[x1,x2]上的最大值必在區間內部取得，記為f(x0),由於f(x)可導，故f(x0)也是的極大值，f』(x0)=0，命題得證。

4樓：free我是流氓

可用達布定理證明：

達布定理：if f(x)在[a,b]可導,f'(a+0)*f'(b-0)<0,then 存在c included in (a,b) 使f'(c)=0.

1證明達布定理：

證：因為f(x)在[a,b]可導，f'(a+)>0,且f'(b-)<0

存在d>0,使得a+d0,<0.於是f(a+d)>f(a),f(b-d)>f(b),所以f(x)的最大值必在(a,b)內某點取得，即存在c屬於(a,b),max(fx)=f(c)

所以f'(c)=0;

證明命題：

證：設f(x)=f(x)-cx,假設f(x1)0由達布定理,存在f'(c)=c

5樓：_無解

樓下@sinerpo的回答為錯誤，@free我是流氓不夠完善---------------------------------------

首先分析這個題目：已知f'(x)在(a,b)可導(可以推出連續)，證導函式中間值定理。一般選擇兩種方案，羅爾定理或者費馬定理，而易知本題羅爾定理不太適用。

1.設f(x)=f(x)-cx;

那麼f'(x1)=f'(x1)-c; f'(x2)=f'(x2)-c; 由於c為中間值，那麼不妨設f'(x1)0;

2.由於f'(x1)<0,那麼存在ξ>0使得x1+ξ

可推出f(x1+ξ)

3.由於f(x)在[x1,x2]連續，則必定存在兩個最值，由2可知，端點不可能取最小值，所以最小值在(x1,x2),那麼f(min)必定是極小值，所以存在點min∈(x1,x2)使得f'(min)=0;f'(min)-c=0原式得證。

6樓：fly遺恨

這裡並沒有說導函式連續，為什麼可以用零點存在定理。

7樓：

這個對嗎？不知道f'（x）是否連續啊

【高等數學】二階導數中值定理的證明過程，**是作輔助函式以後對輔助函式求導，『解釋紅線部分為什麼k

8樓：清水茶

這個是因為 —f''(￡)十2k=0 所以—f''(￡)=一2k即 k=1/2f''(￡)