1樓：匿名使用者
敘述的時候我會假定大家對此定理一無所知
所以我一開始會避免談及拉格朗日中值定理
然而最後我會把拉格朗日中值定理拓展到一般性中值定理
這裡先給出乙個小問題引起一點興趣：
證明方程3ax^2-2ax+2bx-b=0在(0,1)至少存在乙個解（a,b不同時為0)
這個小問題是高二時我在考試時接觸到的一道壓軸題
我記得它的標準答案是稍微繁瑣且不帶任何技巧性的
當時我給出了一種證明方法：
令f(x)=ax^3+(b-a)x^2-bx
由三次函式的連續性可知f(x)在(0,1)之間存在著遞增與遞減
注意到f(0)=f(1)
顯然f(x)不可能在（0,1）單調遞增或單調遞減
所以f(x)在（0,1）至少存在乙個極值點
即原方程在（0,1）至少存在乙個解
上面的證明方法涉及乙個定理：
rolle定理
若函式f(x)在[a,b],(a,b)可導，且f(a)=f(b)
那麼至少存在一點ξ，使得
f'(ξ)=0（a<ξ0且f'(x)>0
證明f'(a)<[f(b)-f(a)]/(b-a) 這個問題還有另外一種表達形式： 證明存在一點ξ，使得 f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)（a<ξ 這個小問題的兩種表達形式的一種做法： f(b)-f(a)=∫(b,a)f'(x)dx 不妨設以f(a)為高的矩形為a,以f(b)為高的矩形為b 以f(x)在(b,a)的部分為曲邊的曲邊梯形為c，三者寬度均為b-a 顯然f'(a)<[f(b)-f(a)]/(b-a) 另外一種非常有技巧性的做法類似4l所談及的,涉及rolle定理，但這裡不會繼續下去 因為下面所談及的內容比理解這種做法更有意思 這個問題是： 曲邊梯形經過怎樣的變換可以成為乙個矩形？ 若該曲邊梯形是f'(x)在(a,b)的部分 注意到以下不等式： (b-a）f'(x)min≤∫(b,a)f'(x)dx≤（b-a）f'(x)max (b-a）f'(x)表示矩形面積 設f'(c)=f'(x)min,f'(d)=f'(x)max 因此在(f'(c)，f'(d))可以選取一點f'(ξ)(ξ介於cd之間) 使得f'(ξ)(b-a)=∫(b,a)f'(x)dx (c,d）或(d,c)∈(a,b),因此(a<ξ 即f'(ξ)（b-a)=f(b)-f(a) (a<ξ 現開始談及一開始不涉及的內容： 拉格朗日中值定理 若函式f(x)在[a,b]連續,(a,b)可導 那麼至少存在一點ξ(a<ξ f'(ξ)（b-a）=f(b)-f(a) 或f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a) 有一些同學可以會為定理中的『(a,b)可導』而不是『[a,b]可導』感到困惑 持保守觀點的可能會認為[a,b]連續不意味著[a，b]可導 譬如√x在[0,1]連續但在0處不可導 然而通過25l的內容可理解成： 乙個矩形去掉邊長後面積不變 這裡將拉格朗日中值定理做乙個輕率的變式： 設h[g(x)]=f(x)，那麼g'(x)h'[g(x)]=f'(x) [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=/[g(b)-g(a)]=h'[g(ξ)]=f'(ξ)/g'（ξ） 這個變式稱為一般中值定理或者cauchy中值定理 一般性中值定理： 若f(x)與g(x)在[a,b]連續,(a,b)可導,且g'(x)≠0 那麼至少存在一點ξ 使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ) (a<ξ 當g(x)=x時，該定理便是拉格朗日中值定理 2樓：zzllrr小樂 跟一元函式類似，只不過推廣到二維了。變數多了，公式稍微複雜一些而已。 3樓：匿名使用者 寫成帶拉格朗日餘項的泰勒公式會好一些。 是用微分逼近函式值的方法。 關於二元函式的泰勒公式與中值定理的乙個問題
50 4樓：匿名使用者 中值定理方向導數: 利用高階微分和方向導數,改寫了多元函式的泰勒公式和拉格朗日中值定理(簡稱中值定理)的形式,從而將多元函式的泰勒公式和中值定理與一元函式... 高數 偏導數證明 謝謝啦 大一 thinking4娛樂 你提了很好的問題。現在我們可以再分析一下這道題。設y x 則f x,y x x x 8 由於當x 0時，x 8相對於x 是高階無窮小，可忽略。則有 f x,y x x x 0 再設y x 則f x,y x 3 2 x x 當x 0時，x 相對於x是高階無窮小，可忽略。則有f ... 計算偏導，然後取零值，可以通過二階導來判斷極值性質。比如y a x1 2 b x2 2 謝謝 by lyqmath clc clear all close all syms a b x1 x2 y a x1 2 b x2 2 dy1 diff y,x1 dy2 diff y,x2 xt1 solve... 滿腹經綸公子 lagrange描述和euler描述是描述物體運動的兩種方法 拉格朗日法用來描述一個質點的運動，用初始時刻的座標來標記質點，記錄這個質點每時每刻所在的位置。用數學來表達就是r a,b,c,t 這裡a,b,c就是初始時刻質點的座標。拉格朗日描述其實就是理論力學裡的方法。尤拉法描述固定的空...有關二元函式極限的疑惑，關於二元函式的極限的定義有點疑惑
matlab裡面怎樣求二元符號函式的極小值
怎樣理解流體力學中的拉格朗日描述和尤拉描述