1樓：笑年
∫(-1->2) (x^2+1/x^4)dx=∫(-1->2) x^2dx +∫(-1->2)dx/x^4=x^3/3 |((-1->2) -1/3x^3 (-1->2)=1/3[2^3-(-1)^3]-1/3[1/2^3 -1/(-1)^3]
=1/3(8+1)-1/3(1/8+1)
=3-1/3 *9/8
=3-3/8
=21/8
2樓：匿名使用者
你自己已經指出了核心問題，這樣的定積分能積嗎? 通常這類問題屬於不合適積分(improper integral)。其中的特徵有二，一是區間為無窮大，二是有不連續(not continuous, no bound)，有時甚至一起來。
第一種處理方法多是比較單純的將無窮大設為一變數 t，在將變數取極限即可(limit t->infinite or 0+ 0-)第二種是不連續，你的問題就是1/x^4時在零點時不連續。這類的處理方法就都不一樣，這裡可以用數列(series)的方法處理，有個定理為 integral(1,infinite)(1/x^p) p>1就收斂(convergent)，反之就發散(divergent)，反過來可推出integral(0,1)(1/x^p) p<1就收斂，反之就發散。
所以，你的問題中的integral(-1,2)(1/^4) 可寫成[integral(-1,0) + integral(0,2)](1/x^4)，由上式定理，p=4，這個定積分發散(divergent)。此定積分不存在! (沒有任何數值的)
高數定積分，第一小題，解答說因為被積函式是奇函式，所以答案是0，函式奇偶性和被積函式有什麼關係，為
3樓：手機使用者
sinx在內個區間上定積分是0的。。。偶倍奇零，sinx定積分一正一負加起來就是0了
二重積分和三重積分的區別 都可以算體積嗎
4樓：匿名使用者
都是遞進關係，從一重積分開始，只說幾何意義吧。
一重積分(定積分)：只有
乙個自變數y = f(x)
當被積函式為1時，就是直線的長度(自由度較大)
∫(a→b) dx = l(直線長度)
被積函式不為1時，就是圖形的面積(規則)
∫(a→b) f(x) dx = a(平面面積)
另外，定積分也可以求規則的旋轉體體積，分別是
盤旋法(disc method)：v = π∫(a→b) f²(x) dx
圓殼法(shell method)：v = 2π∫(a→b) xf(x) dx
計算方法有換元積分法，極座標法等，定積分接觸得多，不詳說了
∫(α→β) (1/2)[a(θ)]² dθ = a(極座標下的平面面積)
二重積分：有兩個自變數z = f(x，y)
當被積函式為1時，就是面積(自由度較大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面積)
當被積函式不為1時，就是圖形的體積(規則)、和旋轉體體積
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋轉體體積)
計算方法有直角座標法、極座標法、雅可比換元法等
極座標變換：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ
三重積分：有三個自變數u = f(x，y，z)
被積函式為1時，就是體積、旋轉體體積(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = v(旋轉體體積)
當被積函式不為1時，就沒有幾何意義了，有物理意義等
計算方法有直角座標法、柱座標切片法、柱座標投影法、球面座標法、雅可比換元法等
極座標變化(柱座標)：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ
極座標變化(球座標)：{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k
{ a ≤ φ ≤ b、最大範圍：0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r²sin²φ drdφdθ
所以越上一級，能求得的空間範圍也越自由，越廣泛，但也越複雜，越棘手，而
且限制比上面兩個都少，對空間想象力提高了。
重積分能化為幾次定積分，每個定積分能控制不同的伸展方向。
又比如說，在a ≤ x ≤ b裡由f(x)和g(x)圍成的面積，其中f(x) > g(x)
用定積分求的面積公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是公升級的二重積分，面積公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被積函式變為1了
用不同積分層次計算由z = x² + y²、z = a²圍成的體積？
一重積分(定積分)：向zox面投影，得z = x²、令z = a² --> x = ± a、採用圓殼法
v = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
二重積分：高為a、將z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a²
所以就是求∫∫(d) (x² + y²) dxdy、其中d是x² + y² = a²
v = ∫∫(d) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、這步你會發覺步驟跟一重定積分一樣的
= 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
三重積分：旋轉體體積，被積函式是1，直接求可以了
柱座標切片法：dz：x² + y² = z
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→a²) dz ∫∫dz dxdy
= ∫(0→a²) πz dz
= π • [ z²/2 ] |(0→a²)
= πa⁴/2
柱座標投影法：dxy：x² + y² = a²
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz
= 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr
= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a)
= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]
= πa⁴/2
三重積分求體積時能用的方法較多，就是所說的高自由度。
既然都說了這麼多，再說一點吧：
如果再學下去的話，你會發現求(平面)面積、體積 比 求(曲面)面積的公式容易
學完求體積的公式，就會有求曲面的公式
就是「曲線積分」和「曲面積分」，又分「第一類」和「第二類」
當被積函式為1時，第一類曲線積分就是求弧線的長度，對比定積分只能求直線長度
∫(c) ds = l(曲線長度)
被積函式不為1時，就是求以弧線為底線的曲面的面積
∫(c) f(x，y) ds = a(曲面面積)
當被積函式為1時，第一類曲面積分就是求曲面的面積，對比二重積分只能求平面面積
∫∫(σ) ds = a(曲面面積)、自由度比第一類曲線積分大
∫∫(σ) f(x，y，z) ds，物理應用、例如曲面的質量、重心、轉動慣量、流速場流過曲面的流量等
而第二類曲線積分/第二類曲面積分以物理應用為主要，而且是有"方向性"的，涉及向量範圍了。
這兩個比較複雜，概念又深了一層，等你學到再理解吧。
二重積分什麼時候可以直接表示區域面積？是被積函式是1的時候？
5樓：是你找到了我
二重積分被積函式等於1時，可以直接表示區域面積；是被積函式是1的時回候。因為二重積答分的面積微元dxdy就表示積分區域微元的面積，所以被積函式為1時，直接積分就得到總的面積。
二重積分的本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積；當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。
6樓：匿名使用者
是的，二重積分被積函式等於1時，可以直接表示區域面積。
雖然還有其它情況二重積分值也可能會等於區域面積，但這不過是一種計算結果，而不能【直接】表示。
7樓：花開勿敗的雨季
因為二重來積分的面積微自元dxdy就表示積分區bai域微元的面積，那du麼直接積分就得到總的面zhi積dao，所以被積函式即為1.
類似地，一重定積分的微元為座標長度dx，為了求面積，還需要知道矩形微元的高，即f(x)，所以定積分求面積的被積函式是f(x)。
8樓：匿名使用者
當積分區域d是平面區域時,∫∫dxdy=d的面積。
9樓：匿名使用者
∫∫ k ds = k ∫∫ ds = ks
10樓：霖鎅
被積函式是1 的話 是f（x，y）=1→z＝1 相當於高等於1
定積分的幾何意義為什麼表示面積，為什麼被積函式所圍成的面積等於原函式兩點之差
11樓：老虎二哥
答：從定積分的定義去理解：
它是乙個極限，你看一下這個極限是怎麼來的，就是把你積分的區間分成n份，然後在每個區間內任意取f（x)（看圖，它相當於矩形的寬），然後用這個f（x)乘以這個區間的長度（看圖，它相當於矩形的長，只不過是與該曲線和x軸圍城的面積近似），最後把整個n份（也就是n個矩形的面積）加起來，不就是得到了整個積分區間上的與原曲邊和x軸圍城的面積的近似值，最後就是取極限將n趨向無窮，那麼這樣就表示面積了。
12樓：匿名使用者
因為導數可以看作原函式在每個點的「差」，積分可以看作是求和，所以當你對導函式去積分就相當於把各個點作的「差」又加起來了，最後的結果就是原函式在兩頭的差了。可以用人上樓梯的過程進行模擬。
一題n項求和化為定積分的問題。n項和怎麼變為定積分ln
用的是定積分的定義.ln n ln n 1 ln 2n 1 n ln n n ln 1 ln 1 1 n ln 1 n 1 n n ln 1 1 n ln 1 1 n 1 n ln 1 n 1 n 1 n 就是ln 1 x 在 0,1 分劃0 1 n 2 n n 1 n 1下的乙個riemann和....
第一題2 t，第二題1 1 x 2 ，第三題1 1 x 21 2 的定積分以及反導過程
y 2 t，先運用對數求導法，然後兩邊取積分lny ln 2 t t ln2y y ln2 y y ln2 y y ln2 dt ln2 y dt y dt y ln2 2 t dt 2 t ln2 c dx 1 x 令x tanz，dx sec z dz 1 1 tan z sec z dz 1 ...
解方程組第一題x 2y 3 0，5x 4y 8 0第二題x 2y 3z 0，3x 2y 5z 12，2x 4y z
x 2y 3 0 1 5x 4y 8 0 2 1 乘以2,2x 4y 6 0 3 2 3 得 7x 2 0,得x 2 7,代入 1 得y 23 14 x 2y 3z 0 1 3x 2y 5z 12 2 2x 4y z 7 3 1 式乘以 1,得 x 2y 3z 0 4 2 3 4 得4x z 19,...