1樓：承冷菱
在數學中，極座標系是乙個二維座標系統。該座標系統中任意位置可由乙個夾角和一段相對原點—極點的距離來表示。極座標系的應用領域十分廣泛，包括數學、物理、工程、航海、航空以及機械人領域。
在兩點間的關係用夾角和距離很容易表示時，極座標系便顯得尤為有用；而在平面直角座標系中，這樣的關係就只能使用三角函式來表示。對於很多態別的曲線，極座標方程是最簡單的表達形式，甚至對於某些曲線來說，只有極座標方程能夠表示。
正如所有的二維座標系，極座標系也有兩個座標軸：
（半徑座標）和
（角座標、極角或方位角，有時也表示為
或座標表示與極點的距離，
座標表示按逆時針方向座標距離0°射線（有時也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角座標系中的x軸正方向。
比如，極座標中的（3, 60°）表示了乙個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。（−3, 240°）和(3, 60°)表示了同一點，因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方（240° − 180° = 60°）。
極座標系中乙個重要的特性是，平面直角座標中的任意一點，可以在極座標系中有無限種表達形式。通常來說，點（r, θ）可以任意表示為（r, θ ±n×360°）或(−r, θ ± (2n+ 1)180°)，這裡n是任意整數。如果某一點的r座標為0，那麼無論θ取何值，該點的位置都落在了極點上。
使用弧度單位
極座標系中的角度通常表示為角度或者弧度，使用公式2π*rad= 360°。具體使用哪一種方式，基本都是由使用場合而定。航海方面經常使用角度來進行測量，而物理學的某些領域大量使用到了半徑和圓周的比來作運算，所以物理方面更傾向使用弧度。
希望我能幫助你解疑釋惑。
2樓：心飛翔
由題設條件。可知積分區域d是y=rx與x²+y²=r²和x軸圍成的扇形區域。設x=ρcos
θ，y=ρsinθ。∴0≤ρ≤r，0≤θ≤arctanr。
∴原式=∫(0,arctanr)dθ∫(0,r)f(tanθ)ρdρ。
供參考。
3樓：匿名使用者
x=rcosθ，y=rsinθ
則積分區域變為 r^2=rrcosθ 即：r=rcosθ θ∈[-π/2,π/2]
所以，原式為：∫[-π/2,π/2] dθ ∫[0,rcosθ] √(r^2-r^2) r dr
=∫[-π/2,π/2] dθ
=2∫[0,π/2] dθ
∫sin^3θdθ =∫sin^2θ*sinθ dθ=-∫sin^2θdcosθ
=∫(cos^2θ -1)dcosθ
=cos^3θ/3-cosθ +c
原式=r^3*θ/3-r^3/3* (cosθ)^3/3+cosθ) |[0,π/2]
=πr^3/6
4.x=rcosθ，y=rsinθ
積分區域為: r∈[π, 2π] θ∈[0,2π]，原式=∫[0,2π] dθ ∫[π,2π] sinr*r dr=∫[0,2π] dθ
=2π*（-2π-π）
=-6π^3
把二重積分化為極座標形式，並計算積分值 ∫（上限是1，下限是0）dx∫(上是x,下是x^2)(x^2+y^2)^(1/2)dy
4樓：匿名使用者
解：原式=∫<0.π/4>dθ∫<0,sinθ/cos²θ>r*rdr (做極座標變換)
=∫<0.π/4>(1/3)(sinθ/cos²θ)³dθ
=(1/3)∫<0.π/4>sin³θdθ/(cosθ)^6
=(-1/3)∫<0.π/4>[(cosθ)^(-6)-(cosθ)^(-4)]d(cosθ)
=(-1/3)[(-1/5)(cosθ)^(-5)+(1/3)(cosθ)^(-3)]│<0.π/4>
=(-1/3)[(-1/5)(1/√2)^(-5)+(1/3)(1/√2)^(-3)+1/5-1/3]
=(-1/3)(-4√2/5+2√2/3-2/15)
=2(√2+1)/45。
（大學高數二次積分，如圖）把積分化為極座標形式，並計算積分值 30
5樓：
解：(2)小題，設x=rcosθ，y=rsinθ，∴0≤r≤2acosθ， 0≤θ≤π/2。 ∴原式=∫(0,π/2)dθ)∫(0,2acosθ)r^3dr=(4a^4)∫(0,π/2)(cosθ)^4dθ=(3π/4)a^4。
(4)小題，設x=rcosθ，y=rsinθ，∴0≤r≤secθ，0≤θ≤π/4。
∴原式=∫(0,π/4)dθ)∫(0,secθ)r^2dr=(1/3)∫(0,π/4)\secθ)^3dθ=(1/6)[secθtanθ+ln|secθ+tanθ|]|(θ=0，π/4)=(1/6)[2^(1/2)+ln(1+2^(1/2))]。
供參考。
二重積分，積分形式轉化為極座標形式，r的取值區間怎麼求
6樓：衷賢遲醜
首先，bai你在直角座標系中過原點du作此區zhi域函式影象dao的兩條
切線，則專兩條切線的角度則為極坐
屬標係中θ的範圍。（若該影象將原點包圍，那一定是（0，2π）的範圍）然後，在直角座標系下不是已經已知乙個關於x，y的旦膽測感爻啡詫拾超漿函式關係來表示範圍嗎？你將其中的x²+y²換成r²，x換成rcosθ，y換成rsinθ，再解出這個關係式，就可得r的範圍了。
如：積分區域為：(x-1)²+y²≤1
則通過作出影象及切線後，發現一條切線是y軸正半軸，另一條是負半軸，所以θ範圍是
（-π/2，π/2）；
將關係式變換：(x-1)²+y²≤1
→：x²-2x+1+y²≤1
→r²<2rcosθ
→r<2cosθ，所以r範圍是
（0，2cosθ）
二重積分直角座標轉極座標轉換，二重積分極座標怎麼轉換成直角座標系
我的行雲筆記 二重積分經常把直角座標轉化為極座標形式主要公式有x cos y sin x 2 y 2 2 dxdy d d 極點是原來直角座標的原點以下是求 和 範圍的方法 一般轉換極座標是因為有x 2 y 2存在,轉換後計算方便題目中會給一個x,y的限定範圍，一般是個圓將x cos y sin 代...
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似紅豆 利用極座標計算二重積分，有公式 f x,y dxdy f rcos rsin rdrd 其中積分割槽域是一樣的。i dx x 2 y 2 1 2 dy x的積分上限是1,下限0 y的積分上限是x,下限是x 積分割槽域d即為直線y x,和直線y x 在區間 0，1 所圍成的面積，轉換為極座標後...