求曲面z x 2 y 2和z 6 2x 2 2y 2所圍成的立體的體積

1樓：無所謂的文庫

解：圖形是一個開口向上的拋物面和一個開口向下的拋物面圍成的立體不用考慮圖形具體的樣子

首先求立體在xy座標面上的投影區域

把兩個曲面的交線投影到xy面上去

即兩個方程聯立：

z=x²+y² .............①z=6-2x²-2y² ......②

①-②得：

x²+y²-6+3x²+3y²=0

x²+y²=2

所以立體在xy座標面上的投影區域是d：x²+y²≤2其次，根據二重積分的幾何意義

立體的體積是兩個曲頂柱體的體積的差

兩個曲頂分別是：

z=x²+2y²

z=6-2x²-y²

很容易判斷得到：

z=6-2x²-y²在z=x²+2y²上方所以，立體的體積：

v＝∫∫(d)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy

在極座標系下化為累次積分：

v＝∫(0～2π)dθ∫(0～√2)(6－3ρ^2)ρdρ＝6π

2樓：

解：由z=x^2+y^2和z=6-2x^2-2y^2聯立，解得：z=3,l立體在xoy平面的投影為x^2+y^2《2

積分割槽域為：x^2+y^2《2，x^2+y^2《z 《6-2x^2-2y^2 。

v=∫∫∫dxdydz=∫∫(6-2x^2-2y^2-x^2-y^2）dxdy=∫∫(6-3x^2-3y^2）dxdy

用極座標代換：積分割槽域為：0《r《√2，0《θ《2π

所以：v=∫∫r(6-3r^2）drdθ=2π*(3r^2-3/4*r^4)|[0,√2]=6π

求由曲面z=x^2＋2y^2及z=6－2x^2－y^2所圍成的立體的體積

3樓：犁玉蘭翠燕

兩曲面的交線在xy座標面上的投影曲線是x^2+y^2＝2，所以整個立體在xy面上的投影區域是d：x^2＋y^2≤2

體積v＝∫∫(d)

[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy用極座標

＝3∫(0～2π)dθ∫(0～√2)

(2－ρ^2)ρdρ＝6π

4樓：匿名使用者

解：∵解方程組z=x²+2y²與z=6-2x²-y²，得x²+y²=2

∴所求立體在xoy面上投影區域為d=

故所求立體體積=∫∫[(6-2x²-y²)-(x²+2y²)]dxdy

=∫∫[6-3(x²+y²)]dxdy

=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>(6-3r²)rdr (應用極座標變換)

=2π∫<0,√2>(6r²-3r³)dr=2π(2r³-3r^4/4)│<0,√2>=2π(4√2-3)

計算由曲面z=2-x^2-y^2及z=√(x^2+y^2)所圍成的立體的體積

5樓：您輸入了違法字

首先將兩個方程並列找出兩個曲面相交的曲線.通過消去z,得到：

2-x²=x²+2y²

即x²+y²=1

所以,此曲線位於半徑為1的圓柱面上.那麼x和y的積分限很容易就找到了：x²+y²=1

要找到z的積分限,就需要知道兩個曲面哪個在上面,哪個在下面.因為所包的體積在圓柱內部,所以要求x²+y²<1.用這個條件,我們發現2-x²>x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面。

根據上面的討論,我們就可以寫出體積分：

v=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz

這裡用符號_(x²+2y²)來表達z積分的下限,^(2-x²)表達z積分的上限.(記住xy積分限是圓形x²+y²=1.)

對z的積分很容易：

∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²

剩下的就是對xy的兩重積分。

v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy

這個積分最容易在極座標裡做.變換為極座標時,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.積分限為r從0到1,φ從0到2π.

v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ

兩個積分各為：

∫_0^(2π)dφ=2π

∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2

v=(1/2)2π=π

所以體積是π。

6樓：cyxcc的海角

聯立方程，消去z得交線在xoy面的投影曲線為x^2+y^2=1,所以v=∫∫x^2+y^2＜=1(2-x^2-y^2-√(x^2+y^2))dxdy=5∏/6(二重積分自己算一下吧)

求曲面z=x^2+2y^2及z=6-2x^2-y^2所圍成立體的體積。(用重積分做)

7樓：諦衍西諺

兩曲面的交線在xy座標面上的投影曲線是x^2+y^2＝2，所以整個立體在xy面上的投影區域是d：x^2＋y^2≤2 體積v＝∫∫(d) [(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy 用極座標＝3∫(0～2π)dθ∫(0～√2) (2－ρ^2)ρdρ＝6π

8樓：h德馨數學

z=x^2+2y^2叫橢圓拋物面，教材裡在“二次曲面”部分是介紹過這種曲面的，它的立體圖形如開口向上的旋轉拋物面，只不過用平行於xoy面的平面去截，截痕不是圓，而是橢圓。

z=6-2x^2-y^2也是橢圓拋物面，只不過開口向下，並且頂點從原點向上平移6個單位。

z=xy叫雙曲拋物面，即馬鞍面，它是“二次曲面”部分標準位置的馬鞍面繞z軸旋轉45度角以後得到的。

求曲面z=f(x,y)與z=g(x,y)圍成的立體體積，其實是不需要知道曲面的形狀的，方法如下：

（1）由z=f(x,y)與z=g(x,y)構成的方程組，消去z，就可以得到兩曲面的交線在xoy平面內的投影曲線（一定是閉曲線，只要它們確實能夠圍成立體），投影曲線所圍的區域d就是積分割槽域；

（2）在d內任意取一點，比較在該點處z=f(x,y)與z=g(x,y)兩函式值的大小，函式值較大的那塊曲面在上，另一塊在下。例如點(u,v)∈d，有f(u,v)>g(u,v)，則在d上就一定會有f(x,y)≥g(x,y)，因而被積函式為：f(x,y)-g(x,y)；

（3）求這個二重積分，就可以得到立體的體積了。

計算由曲面z=6-x^2-y^2及z=√（x^2+y^2）所圍成的立體的體積

9樓：

首先將兩個方程並列找出兩個曲面相交的曲線.通過消去z,我們得到：

2-x²=x²+2y²

即x²+y²=1

所以,此曲線位於半徑為1的圓柱面上.那麼x和y的積分限很容易就找到了：x²+y²=1

要找到z的積分限,就需要知道兩個曲面哪個在上面,哪個在下面.因為所包的體積在圓柱內部,所以要求x²+y²x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面.

根據上面的討論,我們就可以寫出體積分：

v=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz

這裡我用符號_(x²+2y²)來表達z積分的下限,^(2-x²)表達z積分的上限.(記住xy積分限是圓形x²+y²=1.)

對z的積分很容易：

∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²

剩下的就是對xy的兩重積分.

v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy

這個積分最容易在極座標裡做.變換為極座標時,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.積分限為r從0到1,φ從0到2π.

v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ

兩個積分各為：

∫_0^(2π)dφ=2π

∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2

v=(1/2)2π=π

所以體積是π.

求曲面z x 2 y 2和z 6 2x 2 2y 2所圍成的立體的體積

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