1樓：夢色十年
1、e^x-1～x (x→0)
2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
7、arcsinx~x (x→0)
8、arctanx~x (x→0)
9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)
11、e^x-1~x (x→0)
12、ln(1+x)~x (x→0)
13、(1+bx)^a-1~abx (x→0)14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)15、loga(1+x)~x/lna(x→0)擴充套件資料等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。
求極限時，使用等價無窮小的條件：
1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；
2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。
在同一點上，這兩個無窮小之比的極限為1，稱這兩個無窮小是等價的。等價無窮小也是同階無窮小。從另一方面來說，等價無窮小也可以看成是泰勒公式在零點到一階的泰勒公式。
2樓：匿名使用者
▄︻┻═┳一 根據arcsinx的泰勒公式，可以輕鬆得到為同階不等價無窮小。x→0，時x→sinx ;
x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1);
[(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麥克勞林公式也是，
那個符號不好寫，你課本上或者習題裡有.例1 limx→0tanx-sinxx3
給你舉幾個利用無窮小的例子
例1 limx→0tanx-sinxx3
解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)=12
此題也可用羅比塔法則做，但不能用性質④做。
∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不滿足性質④的條件，否則得出錯誤結論0。
例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2
解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53
例3 limx→0(1x2-cot2x)
解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3
=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)
例4［3］ limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用羅比塔法則）
=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分離非零極限乘積因子）
=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零極限）
=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用羅比塔法則）
=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
出現迴圈，此時用羅比塔法則求不出結果。怎麼辦？用等價無窮小代換。
∵ x～sinx～tanx(x→0)
∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。
3樓：匿名使用者
當x→0，且x≠0，則
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx;
x~ln(1+x)~(e^x-1);
(1-cosx)~x*x/2;
[(1+x)^n-1]~nx;
loga(1+x)~x/lna;
a的x次方~xlna;
(1+x)的1/n次方~1/nx(n為正整數）；
注：^ 是乘方，~是等價於，這是我做題的時候總結出來的。
4樓：匿名使用者
利用等價無窮小來求極限是一種很方便的方法，同時等價無窮小的知識也是一元微分學的基礎知識之一。
為了用好等價無窮小，記住一些基本的等價無窮小公式是必要的。
當x→0，且x≠0，則
x--sinx--tanx--arcsinx--arctanx;
x--ln(1+x)--(e^x-1);
(1-cosx)--x*x/2;
[(1+x)^n-1]--nx;
注：^ 是乘方，-- 是等價於。
參考資料：《高等數學》
5樓：匿名使用者
（1） sinx～x（x→0） arcsinx～x（x→0）（2） tanx～x （x→0） arctanx～x （x→0）（3） ln(1+x)～x （x→0） e∧x —1～x （x→0）（4） （1+小）∧a -1 ～ax（x→0）(a≠0)1- cosx ～1／2x∧2 （x→0）
高等數學高等數學，高等數學高等數學？？ 50
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