1樓：匿名使用者
證明：（一）由x1=1/2,x(n+1)=(xn²+1)/2.可得x1=1/2,x2=5/8.
∴x1＜x2.又2x(n+1)=xn²+1≥2xn.===>x(n+1)≥xn.
∴是遞增數列。（二）易知，0＜x1＜x2＜1.假設0＜xn＜1,===>0＜xn²＜1.
===>1＜xn²+1＜2.===>1/2＜(xn²+1)/2＜1.===>x(n+1)＜1.
∴數列有上界1。∴存在極限。可設極限為a,在遞推式兩邊取極限得：
2a=a²+1.===>a=1.即極限為1。
2樓：
題目好像有問題
若為x(n+1)=(1+xn/2)/2,則可證明如下x[n+1]=1/2+x[n]/4,由歸納法可知00(因為上面已經得到x[n]<2/3)
即數列單調增,且有界2/3
可以求出極限為2/3
對於數列存在極限的情況,可以讓數列中的未知項都設為xx=1/2+x/4,可求得x=2/3這就是數列極限
3樓：匿名使用者
x(n+1)-xn=(xn^2-2xn+1)/2=(xn-1)^2/2≥0
當且緊當xn=1時等號成立
但是，由遞推關係式及首項知xn>0恆成立，若xn=1，由遞推關係可知x(n-1)=1(注意到xn>0恆成立所以xn^2開方等於xn)
進一步，x(n-2)=1……最後推得x1=1，矛盾所以等號不成立，x(n+1)-xn>0，故此數列遞增但是，顯然它有上界，因為由x1<1知x2<1，遞推下去可知xn<1恆成立
所以此數列存在極限
如果你要求極限，那麼不難得極限為1
用單調有界數列收斂準則證明數列極限存在。 （1）x1>0,xn+1=1/2(xn+a/xn)(n=1,2...,a>0) (2)x1=√2，xn+1
4樓：
（1）x1>0,xn+1=1/2(xn+a/xn)(n=1,2...,a>0)
xn+1=1/2(xn+a/xn)=(xn^2+a)/2xn》2xn√a/2xn=√a
故xn》√a n》2 數列有下界
又：x3-x2=1/2(x2+a/x2)-x2=(1/2)(a/x2-x2)=(a-x2^2)/(2x2)《0 x3《x2
而：xn+1-xn=1/2(xn+a/xn)-1/2(x(n-1)+a/x(n-1)
=(1/2)(xn-x(n-1))(xnx(n-1)-a)/xnx(n+1) 故xn+1-xn《0
xn單減有下界，極限存在
(2)x1=√2，xn+1=√(2xn)
x1=√2<2 xn+1=√(2xn)<√4=2 數列有上界2
又：x2=√(2x1)=√(2√2)>√2=x1
xn+1-xn=√2(√xn-√x(n-1))=√2(xn-x(n-1))/(√xn+√x(n-1))>√2(xn-x(n-1))/4，故xn+1-xn>0
xn單增有上界，極限存在
3.(2)利用單調有界的極限存在準則，證明數列極限存在 x1=2，xn+1=....詳細的請看圖
5樓：匿名使用者
這是一道常bai規題.
先證明du這個數列是單調遞減的，
zhi利用數學歸納法，並dao不難證.
再利用重內要不等式得出容
該數列恆大於等於1
根據單調有界數列極限必存在可證明極限存在
設xn的極限是a，那麼xn+1的極限也是a.
等式兩邊取極限，可解得a=1
利用單調有界必有極限的準則證數列的極限存在並求極限設x1>0且xn+1=1/2(xn
6樓：落葉沒註冊
題目是不是搞錯了，應該是x1>0且xn+1=1/2(xn+1/xn)
如果是，那麼由均值不等式知，xn>=1,有下限1，又由於xn+1/xn=1/2(1+1/xn^2)<=1,(因為xn>=1，所以，1/xn^2<=1,故得xn+1/xn<=1),所以，xn單調遞減且有下界，所以極限存在，設為a,
則a=1/2(a+1/a),又a>0,所以求得極限為1
收斂數列與有界數列，如何理解收斂的數列一定有界，而有界的
畫堂晨起 1 數列收斂與存在極限的關係 數列收斂則存在極限，這兩個說法是等價的 2 數列收斂與有界性的關係 數列收斂則數列必然有界，但是反過來不一定成立！如果數列 xn 收斂，那麼該數列必定有界。推論 無界數列必定發散 數列有界，不一定收斂 數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充...
收斂數列一定有界的問題
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數列Xn收斂，則其一定有界為什麼，N分之一極限是0，可是無上界
n分之一極限是0，它的上確界是1 設xn的極限為a 因為數列xn收斂，所以對於任意的 0,存在n,使得當n n時，有 xn a 所以 xn a xn a 所以當n n時，有 xn a 再令g max 所以對於任意的xn 有 xn 所以數列有界。補充 當n為0.5，n分之一為5，數列中n只能取正整數啊...