1樓：匿名使用者
一元二次方程的解法 一、知識要點： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的乙個重點內容，也是今後學習數學的基 礎，應引起同學們的重視。 一元二次方程的一般形式為：
ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含乙個未知數，並且未知數的最高次數是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解 法：
1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例題精講： 1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解為x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：
（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以 此方程也可用直接開平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丟解) ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= （2）解：
9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c 將二次項係數化為1：
x2+x=- 方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左邊成為乙個完全平方式：(x+ )2= 當b2-4ac≥0時，x+ =± ∴x=(這就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：
將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2 將二次項係數化為1：x2-x= 方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：
(x-)2= 直接開平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= . 3．公式法：
把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項 係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：將方程化為一般形式：
2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解為x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓 兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個 根。
這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學） (1)解：
(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得 x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零) (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。 (3)解：
6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 �6�12 ，∴此題可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小結： 一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般 形式，同時應使二次項係數化為正數。 直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式 法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程 是否有解。 配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。
但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方 法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定係數法）。
例5．用適當的方法解下列方程。(選學） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。
觀察後發現，方程左邊可用平方差 公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。 （2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。 （3）化成一般形式後利用公式法解。
（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解：
x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。
(選學） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我 們發現如果把x+1和x-4分別看作乙個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可變形為 x2+px=-q (常數項移到方程右邊) x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項係數一半的平方) (x+)2= (配方) 當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。 說明：
本題是含有字母係數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母 取值的要求，必要時進行分類討論。 練習： （一）用適當的方法解下列方程：
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3.
x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6.
(2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列關於x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 練習參***：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.
x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.
解：（把2x+3看作乙個整體，將方程左邊分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：
x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a�6�1 a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。
測試 選擇題 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） a、x=5 b、x=-5 c、x1=x2=5 d、x1=x2=-5 2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。 a、3或7 b、-3或7 c、3或-7 d、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項係數，一次項係數和常數項之和等於零，那麼方程必有乙個 根是（ ）。 a、0 b、1 c、-1 d、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有乙個根是零的條件為（ ）。
a、b≠0且c=0 b、b=0且c≠0 c、b=0且c=0 d、c=0 5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。 a、-2，5 b、2，-5 c、2，5 d、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 a、 b、 c、 d、無實根 7． 方程2x2-0.
15=0的解是（ ）。 a、x= b、x=- c、x1=0.27, x2=-0.
27 d、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左邊配成乙個完全平方式後，所得的方程是（ ）。 a、(x-)2= b、(x- )2=- c、(x- )2= d、以上答案都不對 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。 a、(x-1)2=m2+1 b、(x-1)2=m-1 c、(x-1)2=1-m d、(x-1)2=m+1 答案與解析 答案：
1.c 2.c 3.
b 4.d 5.a 6.
d 7.d 8.c 9.
d 解析： 1．分析：移項得：
(x-5)2=0，則x1=x2=5, 注意：方程兩邊不要輕易除以乙個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。 2．分析：
依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：
依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1 時，方程成立，則必有根為x=1。 4．分析：
一元二次方程 ax2+bx+c=0若有乙個根為零， 則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0. 另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！ 5．分析：
原方程變為 x2-3x-10=0, 則(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。
7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。
8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然後按照一次項係數配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理為：
(x-)2= 方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項係數-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1 則(x-1)2=m+1.
中考解析 考題評析 1．（甘肅省）方程的根是（ ） （a） （b） （c） 或 （d） 或 評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除a、b選項，再用驗證法在c、d選項中選出正確 選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。
選項a、b是只考慮了一方面忘記了一元 二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項d中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為 c。 另外常有同學在方程的兩邊同時除以乙個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（遼寧省）方程的根為（ ） （a）0 （b）–1 （c）0，–1 （d）0，1 評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為c，而a、 b兩選項只有乙個根。
d選項乙個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的乙個根是–2，那麼k=__________。
評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。
5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ） （a）x=3+2 （b）x=3-2 （c）x1=3+2 ,x2=3-2 （d）x1=3+2,x2=3-2 評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方 根，即可選出答案。 課外拓展 一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有乙個未知數且未知數的最高次項是二 次的整式方程。
一般形式為 ax2+bx+c=0, (a≠0) 在西元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出乙個數使它與它 的倒數之和等於 乙個已給數，即求出這樣的x與，使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。
可見巴比倫人已知道一元二次 方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。 埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：
ax2=b。 在西元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。 希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的乙個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中 之一。
公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的乙個求根公 式。 在阿拉伯阿爾．花拉子公尺的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種 不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。
阿爾．花拉子公尺除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次 給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的 數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。 韋達（1540-1603）除已知一元方程在複數範圍內恒有解外，還給出根與係數的關係。
我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學 家還在方程的研究中應用了內插法。 11
一元二次方程應用題，求一元二次方程應用題 帶答案
1.某種植物的主幹長出若干樹木的枝幹，每個枝幹又長出同樣數目的小分支，主幹 枝幹和小分支共73，每個枝幹長出多少小分支？設每個枝幹長出x小分支.1 x x 2 73,x 2 x 72 0,x 9 x 8 0,x 8,x 9 捨去 答 每個枝幹長出8個小分支.2.兩個數的和為8，積為9.75，求這兩個...
較難的一元二次方程題
回不去的老夏 用因式分解法解一元二次方程 學習目標 1 會用因式分解法解某些一元二次方程 2 能夠根據方程的特徵，靈活運用一元二次方程的各種解法求方程的根 主體知識歸納 1 因式分解法 若一元二次方程的一邊是0，而另一邊易於分解成兩個一次因式時，例如，x2 9 0，這個方程可變形為 x 3 x 3 ...
一元二次方程公式，一元二次方程
文庫精選 內容來自使用者 你說的對 中考數學一元二次方程試題分類彙編 北房 1.已知，求代數式的值 2.二次函式與x軸有 個交點。3.若關於x的一元二次方程m 2x 1 0有實數根，則m的取值範圍是 a.m 1 b.m 1且m 0c.m 1 d.m 1且m 04.已知關於的一元二次方程有兩個不相等的...