1樓：匿名使用者
三點不共線,則這三點可構成一個三角形,此時此點就是費馬點.
費馬（pierre de fermat )是法國數學家,2023年8月17日出生於法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅.費馬曾提出關於三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上,求一點,使該點到三角形三個頂點距離之和最小．人們稱這個點為“費馬點”.
引例：有甲乙丙三個村莊,要在中間建一供水站向三地送水,現要確定供水站的位置以使所需管道總長最小?將此問題用數學模型抽象出來即為：
在△ abc中確定一點p,使p到三頂點的距離之和pa+pb+pc最小.
解法如下：分別以ab ac為邊向外側作正三角形abd ace 連結cd be交於一點,則該點 即為所求p點.
證明：如下圖所示.連結pa、pb、pc,在△abe和△acd中,ab=ad ae=ac ∠bae=∠bac+60° ∠dac=∠bac+60°=∠bae ∴△abe全等△acd.
∴ ∠abe=∠adc 從而a、d、b、p四點共圓
∴∠apb=120° ,∠apd=∠abd=60°
同理：∠apc=∠bpc=120°
以p為圓心,pa為半徑作圓交pd於f點,連結af,
以a為軸心將△abp順時針旋轉60°,已證∠apd=60°
∴△apf為正三角形.∴不難發現△abp與△adf重合.
∴bp=df pa+pb+pc=pf+df+pc=cd
另在△abc中任取一異於p的點g ,同樣連結ga、gb、gc、gd,以b為軸心
將△abg逆時針旋轉60°,記g點旋轉到m點..
則△abg與△bdm重合,且m或 在 線 段dg上 或 在dg外.
gb+ga=gm+md≥gdga+gb+gc≥gd+gc>dc.
從而cd為最短的線段.
以上是簡單的費馬點問題,將此問題外推到四點,可驗證四邊形的對角線連線的交點即是所求點.
2樓：養豬爆發戶
證明：如下圖所示.連結pa、pb、pc,在△abe和△acd中,ab=ad ae=ac ∠bae=∠bac+60° ∠dac=∠bac+60°=∠bae ∴△abe全等△acd.
∴ ∠abe=∠adc 從而a、d、b、p四點共圓∴∠apb=120° ,∠apd=∠abd=60°同理：∠apc=∠bpc=120°
以p為圓心,pa為半徑作圓交pd於f點,連結af,以a為軸心將△abp順時針旋轉60°,已證∠apd=60°∴△apf為正三角形.∴不難發現△abp與△adf重合.
∴bp=df pa+pb+pc=pf+df+pc=cd另在△abc中任取一異於p的點g ,同樣連結ga、gb、gc、gd,以b為軸心
將△abg逆時針旋轉60°,記g點旋轉到m點..
則△abg與△bdm重合,且m或 在 線 段dg上 或 在dg外.
gb+ga=gm+md≥gdga+gb+gc≥gd+gc>dc.
3樓：夏天
對於兩點來說，距離最短即連線，所以這個點必然在三角形的一條邊上，然後點到直線距離最短是做垂直，這條垂線與剛才的一條邊的交點即距離最短點
同一平面內,求一點到三角形三個頂點距離最短
費馬點是指在三角形所在的平面內，到三角形三個頂點的距離的和最小的點。1 三內角皆小於120 的三角形abc的費馬點，分別以 ab,bc,ca，為邊，向三角形外側做正三角形abc1,acb1,bca1,然後連線aa1,bb1,cc1,則三線交於一點p,則點p就是所求的費馬點。2 若三角形有一內角大於或...
三角形三條高為什麼交於一點，如何證明三角形三條高交於一點
證 設 abc為銳角三角形，其兩條高be cf相交於h，連ah並延長交bc於d，只需證明 adb 90 連ef，則由a f h e與b c e f各四點共圓，得 efh efc ebc cad ebc a b c e四點共圓，有 adb aeb 90 ad bc，故銳角三角形的三條高線相交於一點。圖...
到三角形三條邊的距離都相等的點有幾個
共有四個點。三角形內角平分線交點，在三角形的內部。三角形相鄰外角 同旁內角 平分線交點 三個 到乙個三角形三邊距離都相等的點有幾個 四個，即乙個內心以及三個旁心都是到三角形三邊距離相等的點。三角形有兩個內角的平分線交於一點，這點叫這個三角形的內心。三角形的兩個外角平分線和乙個內角平分線交於一點，這點...