1樓：匿名使用者
菲波那契數列指的是這樣乙個數列：
1，1，2，3，5，8，13，21……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和
它的通項公式為：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根號5】
很有趣的是：這樣乙個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
該數列有很多奇妙的屬性
比如：隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近**分割0.6180339887……
還有一項性質，從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1
如果你看到有這樣乙個題目：某人把乙個8*8的方格切成四塊，拼成乙個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什麼64＝65？
其實就是利用了菲波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到
如果任意挑兩個數為起始，比如5、-2.4，然後兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.
6、0.2、2.8、3、5.
8、8.8、14.6……等，你將發現隨著數列的發展，前後兩項之比也越來越逼近**分割，且某一項的平方與前後兩項之積的差值也交替相差某個值
2樓：答丹雲婁君
f(n)=(1/√5)*
通項公式的推導方法一：利用特徵方程
線性遞推數列的特徵方程為：
x^2=x+1
解得x1=(1+√5)/2,
x2=(1-√5)/2.
則f(n)=c1*x1^n
+c2*x2^n
∵f(1)=f(2)=1
∴c1*x1
+c2*x2
c1*x1^2
+c2*x2^2
解得c1=1/√5，c2=-1/√5
∴f(n)=(1/√5)*【√5表示根號5】
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
則r+s=1,
-rs=1
n≥3時，有
f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
f(n-1)-r*f(n-2)=s*[f(n-2)-r*f(n-3)]
f(n-2)-r*f(n-3)=s*[f(n-3)-r*f(n-4)]
……f(3)-r*f(2)=s*[f(2)-r*f(1)]
將以上n-2個式子相乘，得：
f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)]
∵s=1-r，f(1)=f(2)=1
上式可化簡得：
f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
那麼：f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
=s^(n-1)
+r*s^(n-2)
+r^2*f(n-2)
=s^(n-1)
+r*s^(n-2)
+r^2*s^(n-3)
+r^3*f(n-3)……=
s^(n-1)
+r*s^(n-2)
+r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+r^(n-1)*f(1)
=s^(n-1)
+r*s^(n-2)
+r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+r^(n-1)
（這是乙個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n
-r^n)/(s-r)
r+s=1,
-rs=1的一解為
s=(1+√5)/2,
r=(1-√5)/2
則f(n)=(1/√5)*
3樓：寧芳澤荀城
通項公式為：[(1＋√5)/2]^n
/√5－
[(1－√5)/2]^n
/√5注:(√5表示根號5)
參考的方法1解x^2=x+1為x1，x2
所以an=k1*（x1）^n+k2*（x2）^nk1k2
由a0a1解得
方法2設f（x）=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3……則x*f（x）=a0*x+a1*x^2+a2*x^3……x^2*f（x）
=a0*x^2+a1*x^3……
所以（1-x-x^2）f（x）=a0+a1*x-a0*xf（x）=（a0+a1*x-a0*x）/（1-x-x^2）再應用幕級數即可
4樓：
證明:其遞推公式為a[n+2]=a[n+1]+a[n],其特徵方程為x*x-x-1=0,這是乙個一元二次方程,它的兩個根即為特徵根.即(1＋√5）/2和（1－√5）/2,為表達方便,設它們為a,b.
則其通項公式為a[n]=p*a^n+q*b^n,其中p,q為代定係數,通過a[0],a[1]的值可得p,q.
斐波那契數列通項公式是怎樣推導出來的
5樓：繁星四月
斐波那契數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
如果設f(n)為該數列的第n項(n∈n+).那麼這句話可以寫成如下形式：
f(0) = 0,f(1)=f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥3)
顯然這是乙個線性遞推數列.
通項公式的推導方法一：利用特徵方程
線性遞推數列的特徵方程為：
x^2=x+1
解得x1=(1+√5)/2,x2=(1-√5)/2
則f(n)=c1*x1^n + c2*x2^n
∵f(1)=f(2)=1
∴c1*x1 + c2*x2
c1*x1^2 + c2*x2^2
解得c1=1/√5,c2=-1/√5
∴f(n)=(1/√5)*（√5表示根號5）
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
則r+s=1,-rs=1
n≥3時,有
f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
f(n-1)-r*f(n-2)=s*[f(n-2)-r*f(n-3)]
f(n-2)-r*f(n-3)=s*[f(n-3)-r*f(n-4)]
……f(3)-r*f(2)=s*[f(2)-r*f(1)]
將以上n-2個式子相乘,得：
f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)]
∵s=1-r,f(1)=f(2)=1
上式可化簡得：
f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
那麼：f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*f(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*f(n-3)
……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*f(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（這是乙個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1,-rs=1的一解為 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2
則f(n)=(1/√5)*
迭代法已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求數列的通項公式
解 :設an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))
得α+β=1
αβ=-1
構造方程x²-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2
所以an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2
由式1,式2,可得
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4
將式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化簡得an=(1/√5)*
斐波那契數列通項公式證明方法
6樓：匿名使用者
通項公式的推導方法一：利用特徵方程
線性遞推數列的特徵方程為：
x^2=x+1
解得x1=(1+√5)/2, x2=(1-√5)/2.
則f(n)=c1*x1^n + c2*x2^n
∵f(1)=f(2)=1
∴c1*x1 + c2*x2
c1*x1^2 + c2*x2^2
解得c1=1/√5，c2=-1/√5
∴f(n)=(1/√5)*【√5表示根號5】
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
則r+s=1, -rs=1
n≥3時，有
f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
f(n-1)-r*f(n-2)=s*[f(n-2)-r*f(n-3)]
f(n-2)-r*f(n-3)=s*[f(n-3)-r*f(n-4)]
……f(3)-r*f(2)=s*[f(2)-r*f(1)]
將以上n-2個式子相乘，得：
f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)]
∵s=1-r，f(1)=f(2)=1
上式可化簡得：
f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
那麼：f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*f(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*f(n-3)
……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*f(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（這是乙個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
則f(n)=(1/√5)*
斐波那契數列 前n項和公式，斐波那契數列求和公式
如果你用迴圈做的話當i n時停止迴圈並輸出就可以了，如果你用遞迴做那就從n向前遞迴就沒問題了。斐波那契數列求和公式 1 奇數項求和。2 偶數項求和。3 平方求和。在數學上，斐波那契數列以如下被以遞推的方法定義 f 1 1，f 2 1,f n f n 1 f n 2 n 3，n n 在現代物理 準晶體...
斐波那契數列規律，斐波那契數列有啥規律？
李愷怡 後一個數是前兩個數的和。繁分數分母總是大於1，所以的值總是小於1而分子總是取先前的分母，除了第一次分子分母均是1時，值等於1 2，後來的值均大於1 2 而每次計算繁分數時，繁分數分母中的分母總是不變，分子總是先前分子與分母之和 這就完全符合斐波那契數列的規律 那麼這個最簡單的無窮連分數的值是...
斐波那契數列有什麼規律，斐波那契數列規律是什麼？
斐波那契數列規律是什麼？斐波那契數列 這個數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和。在數學上，斐波那契數列以如下被以遞推的方法定義 f 0 0，f 1 1，f n f n 1 f n 2 n 2，n n 應用 斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前 比如松果。鳳梨 樹葉的排列 某些花朵的花...