1樓：匿名使用者
△abc，︱ab︱=︱ac︱，︱bp︱=2√2，向量bp=(1/3)bc+(2/3)ba，求△abc面積的最
大值為多少。
解：設︱ab︱=︱ac︱=m，∠b=∠c=t；以b為原點，bc所在直線為x軸建立座標系；在此
座標系中，等腰△abc各頂點的座標為：b(0，0)，a(mcost，msint)，c(2mcost，0).
bc=(2mcost，0)；ba=(mcost，msint)；
bp=(1/3)bc+(2/3)ba=((1/3)2mcost+(2/3)mcost，(2/3)msint)=((4/3)mcost，(2/3)msint)；
故有︱bp︱=√[(16/9)m²cos²t+(4/9)m²sin²t]=(m/3)√(16cos²t+4sin²t)=(m/3)√(4+12cos²t)=2√2
於是得cos²t=(18-m²)/3m²，sin²t=1-(18-m²)/3m²=(4m²-18)/3m²
△abc的面積s=(1/2)︱ab︱︱bc︱sint=(1/2)m×2mcost×sint=m²costsint
=m²√=(1/3)√[(18-m²)(4m²-18)]=(1/3)√[-4(m²-45/4)²+729/4]
≦(1/3)√(729/4)=(1/3)(27/2)=9/2.，即當m=(3/2)√5時△abc的面積s獲得最大值9/2 ，此時
cos²t=(18-45/4)/[3(45/4)]=27/135=0.2，cost=0.4472，t=63.435°(=∠b=∠c).
注：當△abc的面積最大時，底邊bc=3，底邊上的高=3，ab=ac=(3/2)√5，面積=9/2.
︱bp︱=√[1+5+2(√5)cos63.435°]=√ 8=2√2.
2樓：匿名使用者
設座標如下
b(0,0), c(x,0), a(x/2,y)p(px,py)
向量bp = 1/3 bc + 2/3 ba1/3 x + x/2 * 2/3 = 2/3 x = pxpy = 2/3 y
sqrt(4/9 x^2 + 4/9 y^2) = 2/3 sqrt(x^2+y^2) = 2sqrt(2)
x^2 + y^2 = 18
so a,c 在半徑為3sqrt(2)的圓上ba = bc = ac
三角形abc面積 = 9sqrt(3)/2
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