1樓：匿名使用者
第一步：要討論能量隨質量變化，先要從量綱得知思路：
能量量綱[e]=[m]([l]^2)([t]^(-2)),即能量量綱等於質量量綱和長度量綱的平方以及時間量綱的負二次方三者乘積。
我們需要把能量對於質量的函式形式化簡到最簡，那麼就要求能量函式中除了質量，最好只有乙個其它的變數。
把([l]^2)([t]^(-2))化簡，可以得到只有乙個量綱-速度[v_]的形式：
[v_]*[v_]。
也就是[e]=[m][v_]*[v_]
可見我們要討論質能關係，最簡單的途徑是從速度v_下手。
第二步：先要考慮能量的變化
與能量的變化有關的有各種能量形式的轉化，其中直接和質量有關的只有做功。
那麼先來考慮做工對於能量變化的影響。
當外力f_(後面加_表示向量，不加表示標量)作用在靜止質量為m0的質點上時，每產生ds_（位移s_的微分）的位移，物體能量增加
de=f_*ds_(*表示點乘)。
考慮最簡化的 外力與位移方向相同的情況，上式變成
de=fds
----------------------------------------
第三步：怎樣把力做功和速度v變化聯絡起來呢？也就是說怎樣來通過力的作用效果來得出速度的變化呢？
我們知道力對物體的衝量等於物體動量的增量。那麼，通過動量定理，力和能量就聯絡起來了：
f_dt=dp_=mdv_
----------------------------------------
第四步：上式中顯然還要參考m質量這個變數，而我們不想讓質量的加入把我們力和速度的關係複雜化。我們想找到一種辦法約掉m，這樣就能得到純粹的速度和力的關係。
參考de=fds和f_dt=dp_，我們知道，v_=ds_/dt
那麼可以得到
de=v_*dp_
如果考慮最簡單的形式：當速度改變和動量改變方向相同：
de=vdp
---------------------------------
第五步：把上式化成能量和質量以及速度三者的關係式（因為我們最初就是要討論這個形式）：
de=vd(mv)----因為dp=d(mv)
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第六步：把上式按照微分乘法分解
de=v^2dm+mvdv
這個式子說明：能量的增量含有質量因速度增加而增加dm產生的能量增量和單純速度增加產生的能量增量2個部分。（這個觀點非常重要，在相對論之前，人們雖然在理論物理推導中認識到質量增加也會產生能量增量，但是都習慣性認為質量不會隨運動速度增加而變化，也就是誤以為dm恆定為0，這是經典物理學的最大錯誤之一。
）---------------------------------
第七步：我們不知道質量隨速度增加產生的增量dm是怎樣的，現在要研究它到底如何隨速度增加（也就是質量增量dm和速度增量dv之間的直接關係）：
根據洛侖茲變換推導出的靜止質量和運動質量公式：
m=m0[1-(v^2/c^2)]^(-1/2)
化簡成整數次冪形式：
m^2=(m0^2)[1-(v^2/c^2)]
化成沒有分母而且m和m0分別處於等號兩側的形式（這樣就是得到運動質量m對於速度變化和靜止質量的純粹的函式形式）：
(m^2)(c^2-v^2)=(m0^2)c^2
用上式對速度v求導得到dm/dv（之所以要這樣做，就是要找到質量增量dm和速度增量dv之間最直接的關係，我們這一步的根本目的就是這個）：
d[(m^2)(c^2-v^2)]/dv=d[(m0^2)c^2]/dv(注意式子等號右邊是常數的求導,結果為0)
即[d(m^2)/dv](c^2-v^2)+m^2[d(c^2-v^2)/dv]=0
即[m(dm/dv)+m(dm/dv)](c^2-v^2)+(m^2)[0-2v]=0
即2m(dm/dv)(c^2-v^2)-2vm^2=0
約掉公因式2m(肯定不是0，呵呵，運動質量為0？沒聽說過)
得到：(dm/dv)(c^2-v^2)-mv=0
即(dm/dv)(c^2-v^2)=mv
由於dv不等於0（我們研究的就是非靜止的情況，運動系速度對於靜止系的增量當然不為0）
(c^2-v^2)dm=mvdv
這就是我們最終得到的dm和dv的直接關係。
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第八步：有了dm的函式，代回到我們第六步的能量增量式
de=v^2dm+mvdv
=v^2dm+(c^2-v^2)dm
=c^2dm
這就是質能關係式的微分形式，它說明：質量的增量與能量的增量成正比，而且比例係數是常數c^2。
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最後一步：推論出物體從靜止到運動速度為v的過程中，總的能量增量：
對上一步的結論進行積分，積分區間取質量從靜止質量m0到運動質量m，得到
∫de=∫[m0~m]c^2dm
即e=mc^2-m0c^2
這就是 物體從靜止到運動速度為v的過程中，總的能量增量。
其中e0=m0c^2稱為物體靜止時候的靜止能量。
ev=mc^2稱為物體運動時候的總動能（運動總能量）。
總結：對於任何已知運動質量為m的物體，可以用e=mc^2直接計算出它的運動動能
2樓：玉棟上鋪
這個公式是不能推導出來的。
愛因斯坦發現，在用相對論時空觀考察動量守恆定律時，動量守恆定律不成立，為了使動量守恆定律也滿足相對性原理，。即滿足洛倫茲變換，愛因斯坦定義了相對論動量，由於兩個系的相對速度對兩個系都一樣，所以，定義相對論動量實質上是定義了相對論質量。
3樓：雷射微加工
這是動質量的定義式，它是為了滿足相對論動量守恆推出來的。
詳細推導請參閱趙凱華的《力學》裡的相對論一章。
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