1樓：
y= √x 在[0,+∞）一致連續的證明：
|√|f(x1)-f(x2)|=|√x1-√x2|≤√|x1-x2|<ε
則對任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得對任意x1，x2滿足|x1-x2|<δ
就有|f(x1)-f(x2)|<ε
因此f(x)=√x在[0，+∞]上一致連續。
所有多項式函式都是連續的。
各類初等函式，如指數函式、對數函式、平方根函式與三角函式在它們的定義域上也是連續的函式。
定義在非零實數上的倒數函式f= 1/x是連續的。但是如果函式的定義域擴張到全體實數，那麼無論函式在零點取任何值，擴張後的函式都不是連續的。
非連續函式的一個例子是分段定義的函式。例如定義f為：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。
取ε = 1/2，不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域內。直覺上我們可以將這種不連續點看做函式值的突然跳躍。
2樓：蹦迪小王子啊
閉區間連續則一致連續，把[0,+∞)拆分成[0,1]和(1,+∞)，第一個區間是閉區間的性質，第二個區間是導數有界的性質。兩個分割槽間都一致連續，合區間當然一致連續。
某一函式f在區間i上有定義，如果對於任意的ε>0，總有δ>0 ，使得在區間i上的任意兩點x'和x"，當滿足|x'-x"|<δ時，|f(x')-f(x")|<ε恆成立，則該函式在區間i上一致連續。對於在閉區間上的連續函式，其在該區間上必一致連續。一致連續的函式必定是連續函式。
擴充套件資料
所有多項式函式都是連續的。各類初等函式，如指數函式、對數函式、平方根函式與三角函式在它們的定義域上也是連續的函式。
定義在非零實數上的倒數函式f= 1/x是連續的。但是如果函式的定義域擴張到全體實數，那麼無論函式在零點取任何值，擴張後的函式都不是連續的。
非連續函式的一個例子是分段定義的函式。例如定義f為：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。
取ε = 1/2，不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域內。直覺上我們可以將這種不連續點看做函式值的突然跳躍。
3樓：
|√|f(x1)-f(x2)|=|√x1-√x2|≤√|x1-x2|<ε
則對任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得對任意x1，x2滿足|x1-x2|<δ
就有|f(x1)-f(x2)|<ε
因此f(x)=√x在[0，+∞]上一致連續只要|x1-x2|足夠小，那麼|f(x1)-f(x2)|就足夠小證明它不一致連續，那麼只要舉一個反例就可以了也就是說找到一組x1，x2，而且|x1-x2|足夠小，但是|f(x1)-f(x2)|>1就可以了
4樓：匿名使用者
閉區間連續則一致連續，你就不能把[0,+∞)拆分成[0,1]和(1,+∞)嗎？第一個區間是閉區間的性質，第二個區間是導數有界的性質。兩個分割槽間都一致連續，合區間當然一致連續。
5樓：匿名使用者
y=x^(1/2) y' = (1/2)x^(-1/2) >0 y=根號x在0到正無窮上是增函式
求解。證明f(x)=√x在[0，+∞]上一致連續。
6樓：匿名使用者
|f(x1)-f(x2)|=|√x1-√x2|≤√|x1-x2|<ε則對任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得對任意x1,x2滿足|x1-x2|<δ
就有|f(x1)-f(x2)|<ε
因此f(x)=√x在[0，+∞]上一致連續
7樓：匿名使用者
應該討論該函式在[0,1]和[1,無窮]
在[0,1]，在零點和1點的極限存在，所以一直連續。（充要條件）
在[1,無窮]上有，|√x1-√x2|<|(√x1-√x2)(√x1+√x2)|=|x1-x2|<ε，√x1+√x2>1（利普西斯條件）
8樓：無言的結局
則對任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得對任意x1,x2滿足|x1-x2|<δ
就有|f(x1)-f(x2)|<ε
因此f(x)=√x在[0，+∞]上
一致連續和連續的區別是什麼，連續與一致連續的區別 10
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