1樓：
一．觀察法
通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。例1
求函式y=3+√(2－
3x)的值域。
點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－
3x)的值域。
解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函式的知域為
. 點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（
1）被開方數的非負性，（
2）值的
非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，
這種方法對於一類函式的值域的
求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。
練習：求函式
y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，
1，2，
3，4，
5｝）二．反函式法
當函式的反函式存在時，則其反函式的定義域就是原函式的值域。例2
求函式y=(x+1)/(x+2)
的值域。
點撥：先求出原函式的反函式，再求出其定義域。
解：顯然函式
y=(x+1)/(x+2)
的反函式為
:x=(1
－2y)/（y
－1）,
其定義域為
y≠1的實數
,故函式
y的值域為｛y∣y≠1,y∈r｝。
點評：利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。
這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。
練習：求函式
y=(10x+10-x)/(10x
－10-x)
的值域。
（答案：
函式的值域為
｛y∣y<－1
或y>1
｝）三．配方法
當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時
,可以利用配方法求函
數值域例
3：求函式
y=√(－
x2+x+2)
的值域。
點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函式的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函式的定義域為
x∈[－1，
2]。此時－
x2+x+2=－（x
－1/2）2
＋9/4∈[0，
9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函式的值域是
[0,3/2]
點評：求函式的值域不但要重視對應關係的應用
,而且要特別注意定義域對值
域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。
練習：求函式
y=2x－5
＋√15－
4x的值域
.(答案
:值域為)
四．判別式法
若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式
,可用判別式法求函式
的值域。例4
求函式y=(2x2
－2x+3)/(x2
－x+1)
的值域。
點撥：將原函式轉化為自變數的二次方程，
應用二次方程根的判別式，
從而確定出原函式的值域。
解：將上式化為（y－
2）x2－
(y－2)x+(y-3)=0
（＊）當
y≠2時,由
δ=(y
－2)2－4
（y－2
）x+(y
－3)≥0，解得：
2＜x≤10/3
當y=2時,
方程(＊)
無解。∴函式的值域為
2＜y≤10/3。
點評：把函式關係化為二次方程
f(x,y)=0
，由於方程有實數解，故其判別式
高中各年級課件教案習題彙總
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為非負數，可求得函式的值域。常適應於形如
y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)
及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。
練習：求函式
y=1/(2x2
－3x+1)
的值域。（答案：值域為
y≤－8
或y>0
）。五．最值法
對於閉區間
[a,b]
上的連續函式
y=f(x),
可求出y=f(x)
在區間[a,b]
內的極值
,並與邊界值
f(a).f(b)
作比較,
求出函式的最值
,可得到函式
y的值域。例5
已知(2x2-x-
3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足
x+y=1,
求函式z=xy+3x
的值域。
點撥：根據已知條件求出自變數
x的取值範圍，將目標函式消元、配方，可求
出函式的值域。
解：∵3x2+x+1＞
0，上述分式不等式與不等式
2x2-x-
3≤0同解，解之得－
1≤x≤3/2，又
x+y=1
，將y=1-x
代入z=xy+3x
中，得z=-x2+4x(-
1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4
且x∈[
-1,3/2],函式z
在區間[-1,3/2]
上連續，
故只需比較邊
界的大小。
當x=-1
時，z=－5
；當x=3/2
時，z=15/4
。∴函式
z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函式的值域問題轉化為函式的最值。對開區間，若存在最值，
也可通過求出最值而獲得函式的值域。
練習：若√x
為實數，則函式
y=x2+3x-5
的值域為（）
a．（－∞，＋∞）b．
[－7，＋∞]c．
[0，＋∞）d．
[－5，＋∞）
（答案：d）。
六．圖象法
通過觀察函式的圖象，運用數形結合的方法得到函式的值域。例6
求函式y=∣x+1∣+√(x
-2)2
的值域。
點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函式，作出其圖象。
解：原函式化為
－2x+1
(x≤1)
y= 3 (-
12)它的圖象如圖所示。
顯然函式值
y≥3,所以，函式值域
[3，＋∞]。
點評：分段函式應注意函式的端點。利用函式的圖象
求函式的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。
求函式值域的方法較多，
還適應通過不等式法、
函式的單調性、
換元法等方法
求函式的值域。
七．單調法
利用函式在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。例1
求函式y=4x
－√1-
3x(x≤1/3)的值域。
點撥：由已知的函式是複合函式，即
g(x)=
－√1-3x,y=f(x)+g(x)
，其定義
域為x≤1/3，在此區間內分別討論函式的增減性，從而確定函式的值域。
解：設f(x)=4x,g(x)=
－√1-
3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函式，
從而y=f(x)+g(x)= 4x
－√1-3x
在定義域為
x≤1/3
上也為增函式，而且
y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的
函式值域為｛y|y≤4/3｝。
點評：利用單調性求函式的值域，
是在函式給定的區間上，
或求出函式隱含的
區間，結合函式的增減性，
求出其函式在區間端點的函式值，
進而可確定函式的
值域。練習：求函式
y=3+√4
-x的值域。
(答案：｛y|y≥3｝
) 八．換元法
以新變數代替函式式中的某些量，使函式轉化為以新變數為自變數的函式形
式，進而求出值域。例2
求函式y=x-
3+√2x+1 的值域。
點撥：通過換元將原函式轉化為某個變數的二次函式，利用二次函式的最值，
確定原函式的值域。
解：設t=√2x+1 （t≥0）,則
x=1/2(t2-1)。於是
y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-
4≥1/2
-4=-7/2.
所以，原函式的值域為｛y|y≥－
7/2｝。
點評：將無理函式或二次型的函式轉化為二次函式，
通過求出二次函式的最值，
從而確定出原函式的值域。
這種解題的方法體現換元、
化歸的思想方法。
它的應用十分廣泛。
練習：求函式
y=√x
-1 –
x的值域。（答案：｛y|y≤－
3/4｝
九．構造法
根據函式的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。例3
求函式y=√x2+4x+5+√x2
-4x+8
的值域。
點撥：將原函式變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函式的值域。
解：原函式變形為
f(x)=√(x+2)2+1+√(2
-x)2+22
作一個長為
4、寬為
3的矩形
abcd
，再切割成
12個單位
正方形。設
hk=x,
則ek=2-
x,kf=2+x,ak=√(
2-x)2+22 ,
kc=√(x+2)2+1 。
由三角形三邊關係知，ak+kc≥ac=5。當a、
k、c三點共
線時取等號。
∴原函式的知域為｛y|y≥5｝。
點評：對於形如函式
y=√x2+a ±√(c
-x)2+b(a,b,c
均為正數
)，均可通過構
造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。
練習：求函式
y=√x2+9 +√(5
-x)2+4
的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）
十．比例法
對於一類含條件的函式的值域的求法，
可將條件轉化為比例式，
代入目標函式，
進而求出原函式的值域。例4
已知x,y∈r，且
3x-4y-5=0,
求函式z=x2+y2
的值域。
點撥：將條件方程
3x-4y-5=0
轉化為比例式，設定引數，代入原函式。
解：由3x-4y-5=0
變形得，
(x3)/4=(y-1)/3=k(k
為引數)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當k=
－3/5
時，x=3/5,y=
－4/5
時，zmin=1
。函式的值域為｛z|z≥1｝
. 點評：本題是多元函式關係，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過
設引數，
可將原函式轉化為單函式的形式，
這種解題方法體現諸多思想方法，
具有一定的創新意識。
練習：已知
x,y∈r，且滿足
4x-y=0,
求函式f(x,y)=2x2-y
的值域。（答案：
｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
十一．利用多項式的除法例5
求函式y=(3x+2)/(x+1)
的值域。
點撥：將原分式函式，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3
－1/(x+1)
。∵1/(x+1)≠0，故
y≠3。
∴函式y
的值域為
y≠3的一切實數。
點評：對於形如
y=(ax+b)/(cx+d)
的形式的函式均可利用這種方法。
練習：求函式
y=(x2-1)/(x-
1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
十二．不等式法例6
求函式y=3x/(3x+1)
的值域。
點撥：先求出原函式的反函式，根據自變數的取值範圍，構造不等式。
解：易求得原函式的反函式為
y=log3[x/(1-x)],
由對數函式的定義知
x/(1-x)＞0
1-x≠0
解得，0
＜x<1
。∴函式的值域（0，
1）。點評：考查函式自變數的取值範圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出
函式定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是
數學解題的方法之一。
以下供練習選用：求下列函式的值域
1．y=√(15－
4x)+2x-5
；（｛y|y≤3｝）2．
y=2x/(2x－1)
。（y>1或y<0
）注意變數哦
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