1樓:匿名使用者
當n=1時
1<2根號1 成立
設1+1/根號2+1/根號3+------+1/根號n=x<2根號n 成立
則x+1/根號(n+1)<2根號n+1/根號(n+1)
2根號(n+1)-2根號n-1/根號(n+1)>0
即x+1/根號(n+1)<2根號n+1/根號(n+1)<2根號(n+1) 成立
所以1+1/根號2+1/根號3+------+1/根號n小於2根號n
或者1/根號k=2/根號k+根號k<2/根號k+根號(k-1).
把2/根號k+根號(k-1)分母有理化,
就得到1/根號k<2[-根號(k-1)+根號k],
然後原式左邊就小於2(0+1-1+根號2-根號2+根號3……-根號(n-1)+根號n=2根號n,得證。
2樓:匿名使用者
因為 1/根號n=2/(2根號n)<2/(根號n+根號(n-1))=2(根號n-根號(n-1)),
所以1+1/根號2+1/根號3+……1/根號n< 2(1-0)+2(根號2-1)+……+2(根號n-根號(n-1))
= 2根號n .
用數學歸納法證明:1+1/根號2+1/根號3+....+1/根號<2根號n 求詳解
3樓:哇哎西西
令n=k時,成立,1+1/√
2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k;
當n=k+1時,版上式左邊=1+1/√權2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1),上式右邊=2√k+1/√(k+1),
∵4k²+4k<4k²+4k+1,∴2√k√(k+1)<2k+1,∴2√k√(k+1)+1<2k+2,∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),
則上式右邊=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。
4樓:匿名使用者
當n=1時,左邊=1<2=右邊,不等式成立;
假設當n=k時不等式成立,
即1+1/√2+1/√3+....+1/√k<2√k (1)下證當n=k+1時也成立
(1)兩邊專同時加1/√(k+1)得:
左邊=1+1/√2+1/√3+....+1/√k+1/√(k+1)<2√k+[1/√(k+1)]=[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1) (2)
下面證明:2√k*√(k+1)+1<2(k+1)即證:2√k*√(k+1)<2k+1
兩邊平方,即屬證:4k(k+1)<4k²+4k+1,此式顯然成立,因此2√k*√(k+1)+1<2(k+1)對於(2)
左邊<[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1)<2(k+1)/√(k+1)=2√(k+1)=右邊
因此當n=k+1時,不等式成立,證畢。
5樓:匿名使用者
n=1時 左邊du=1 右邊=2 成立zhi假設n=k時成立
即1+1/√
dao2+1/√3+.....+1/√k<2√k那麼n=k+1時
左邊版=1+1/√2+1/√3+.....+1/√k+1/√(k+1)
<2√k +1/√(k+1)
=2√k + 2/ 2√(k+1)
<2√k +2/[√(k+1) +√k]
=2√k +2√(k+1) -2√k
=2√(k+1)
即n=k+1時也成權立
所以對一切 n∈n*,均有1+1/√2+1/√3+.....+1/√n<2√n
6樓:匿名使用者
證明:當n=1時,1<
2成立。 假設當版n=k,1+1/根號權2+1/根號3+...+1/根號k<2根號k 成立;則當n=k+1時,1+1/根號2+1/根號3+...
+1/根號k+1/根號(k+1)<2根號k+1/根號(k+1)通分2√k+1/√(k+1)=(2√k√(k+1)+1)/√k+1,∵2√k√(k+1)+1<k+k+1+1(此處運用均值不等式因為k不可能等於k+1,所以等號不成立).而2√(k+1)=2√(k+1)^2/√(k+1),2√(k+1)^2=k+k+1+1(因為k+1=k+1,所以取等),∴2√k√(k+1)+1<2√(k+1)^2∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)∴當n=k+1時,1+1/根號2+1/根號3+...+1/根號k+1/根號(k+1)<2根號(k+1)成立∴對於任何n∈n+ 此不等式均成立。
7樓:匿名使用者
n=1時 1<2√
1=2成立
若當daon=k時,版1+1/√權2+...+1/√k<2√k成立則當n=k+1時,1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)
因為2√(k+1)-2√k
=2(√(k+1)-√k)(√(k+1)+√k)/(√(k+1)+√k)
=2/(√(k+1)+√k)
>2/(2√(k+1))
=1/√(k+1)
所以2√(k+1)>2√k+1/√(k+1)>1+1/√2+...+1/√(k+1),得證
8樓:匿名使用者
^^用縮bai放說 f(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^dun)-1-n/2 g(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1/2-n f(1)=1+1/2-1-1/2=0 若zhif(n)≥0 f(n+1)=1+1/2+1/3+...
+1/(2^n)-1-n/2+1+n/2-1-(n+1)/2+1/(2^n +1)+…dao1/2^(n +1) 而f(n)≥0 1/(2^n +1)+…1/2^(n +1) ≥[2^(n+1)-2^n-1+1]/2^(n+1)=1/2 f(n+1)≥0
9樓:鞠天國
1 n=1時,顯然成立
2 假設n=k時成立 即
1+1/更號回2+…+1/根號
答k<1/根號k
n=k+1時
左邊=(1+1/根號2+…+1/根號k)+1/根號k+1<2根號k+1/根號k+1
2根號k+1- (2根號k+1/根號k+1)=2(根號k+1-根號k)-1/根號k+ 1=2( (根號k+1-根號k)*( 根號k+1+根號k))/ (根號k+1+根號k) -1/根號k+ 1
=2/ (根號k+1+根號k)-1/根號k+1>2/ (根號k+1+根號k+1)-1/根號k+1=0所以左邊- 2根號k+1<0
即左邊《右邊
綜上所述 成立
證明 1+(1/根號2)+(1/根號3)+...+(1/根號n) - 2根號n 有極限
10樓:王科律師
解:1/√
zhin=2/(√daon+√專n)>2/(√屬n+1+√n)=2(√n+1 -√n)
所以1+1/√2+1/√3+...+1/√n>2(√2-1)+2(√3-√2)+2(√4-√3)+...+2(√n+1-√n)
=2(√n+1-1)
右邊也一樣,1/√n=2/(√n+√n)<2/(√n-1+√n)=2(√n -√n-1)
11樓:匿名使用者
這明明是單調遞增好嗎
1/(1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+2)+……+1/(√n+√n+1)
12樓:吳文
把分母有理化
1/(1+√
2)+1/(√2+√3)+1/(√3+2)+……+1/(√n+√n+1)
=(√2-1)/[(1+√2)(√2-1)] +(√3-√2)/[(√2+√3)(√3-√2)]+......+
(√(n+1)-√n)/[(√n+√(n+1))((n+1)-√n)]
=(√2-1)+(√3-√2)+(2-√3)+......+(√(n+1)-√n)
=√(n+1)-1
13樓:巽爇曦
每一項分子分母同時乘以(√n-√n+1) 最後化簡為√(n+1)-1
14樓:year相信自己
=√2-1+(√3-√2)+(2-√3)+……+(√n+1-√n)=(√n+1)-1
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