1樓：日久生情
看看能否用初等的數學解釋，也算是一個挑戰。閒話少說，且聽慢慢道來。
長方形、三角形、梯形面積
先從長方形面積開始。大家都知道長方形的面積是底 *高，直觀上不難理解：這就是數一數圖中有多少單位小正方形而已。
堆了 m 排小正方形，每排有 n 個，總數就是 m*n 個；每個小正方形的面積是1，所以總面積是 m*n。把整數 m,n 換成分數也一樣成立，無非是以更小的正方形做單位來數而已。
把兩個三角形或者兩個梯形一正一反拼起來，得到了長方形。由此得到三角形的面積是長方形的一半， 也就是(底*高)/2，而梯形的面積是 (上底 +下底)* 高/2。甚至可以說，三角形是梯形面積公式的特例，三角形是上底 =0的梯形，長方形則是上下底相同的梯形。
所以只需要一個梯形公式就夠了，它概括了全部三種情形。
大數學家高斯小時候算1+2+3+...+100=5050的故事，大家恐怕是耳熟能詳了。高斯使用的等差數列求和公式，總和= (首項+末項)* 項數/2，本質上和梯形面積公式是一回事：
首項、末項分別是上底和下底，項數是高。這個例子看出數學是廣泛聯絡的整體，求數列和、求面積體積、求積分，都是一個東西，只是符號不同罷了。
斜三角形面積和祖?原理
好學的孩子可能會馬上指出，上面的做法計算三角形和梯形的面積，只適用於直角三角形和直角梯形。為什麼對一般的“斜三角形、斜梯形”也成立？
簡單的解釋是斜三角形，一正一反會拼成等底等高的平行四邊形。而平行四邊形可以不斷切掉斜角補到另一側（有時可能要做多次），變成一個等底等高的長方形。所以平行四邊形的面積也是底 * 高，上面三角形和梯形公式仍然成立。
祖?原理不難理解：想象每個高度上，都被一個很細的小條覆蓋住，小條的長度是這個高度上的截線長度，厚度是個很小的d 。所有小條的面積加起來就是圖形的面積 —— 有些小誤差，但是當 d -> 0 時誤差就縮小到0，得到精確面積。
既然這兩個圖形在每個高度上的截線長度都相同，對應的小條的面積也相同，所以總面積自然也一樣。上述推理應用到三維空間也成立，只要把“截線長度”換成“截面面積”就好了。祖?原理告訴我們，平行四邊形面積和等底等高的長方形面積相等，因為每個高度的截線長度都相等。
同理，等底等高的三角形（或梯形）的面積也是相等的，因為根據相似性，它們也滿足祖?原理的條件。
現在說體積。我們熟知稜柱或圓柱體積 =底面積 * 高，而稜錐和圓錐的體積，是同底同高的稜柱或圓柱體體積的1/3 ，也就是 底面積 * 高/3。為什麼呢？
利用上面數方塊的辦法，知道長方體的體積 = 底面積 * 高。一個正方體，可以恰好切成三個全等的“直角金字塔”，每個金字塔的底面是正方體的一面，高是正方體的邊長。所以底面為正方形、高為正方形邊長的稜錐的體積為等底等高稜柱的1/3 。
根據祖?原理和相似性，很容易把這個結論推廣到一般的稜錐和圓錐。這個規律甚至在更高的維度也成立， n維空間的球體積有如下的漂亮公式： 球體積=球表面積 * 半徑/n。
這裡係數1/n 來自n 維空間中的“稜錐”（學名是單純形）和對應的長方體（超矩形）的體積關係。看，原來球就是個底面自我封閉的稜錐，如此而已。
直接計算球表面積
另一件值得提及的事情，是有沒有可能不通過體積，直接計算球表面積？事實上，球的表面積和一個半徑為r，高度為2r的圓柱側面積是一樣的。下圖左側的球和右側的圓柱半徑相等，高度也相等，也就是球可以剛好裝進這個圓柱裡卡住。
這個圓柱的側面積（不包含上下底），很容易計算：
2樓：孟孟數學老師
數學一分鐘 球的表面積公式推導證明
3樓：匿名使用者
將圓球切成無數個小圓環，圓環的寬度為rdθ(弧微元),長度為圓的周長2πrsinθ
面積微元:
ds=2πrsinθ(rdθ)=2π(r^2)sinθdθ積分得:
s表=∫[0,π]2π(r^2)sinθdθ=2π(r^2)∫[0,π]sinθdθ
=-2π(r^2)cosθ|[0,π]
=4πr^2
球的表面積公式推導過程
4樓：新一和柚子
讓圓y＝√(r^2－x^2)繞x軸旋轉，得到球體x^2+y^2+z^2≤r^2。求球的表面積。
以x為積分變數，積分限是[－r，r]。
在[－r，r]上任取一個子區間[x，x+△x]，這一段圓弧繞x軸得到的球上部分的面積近似為2π×y×ds，ds是弧長。
所以球的表面積s＝∫<－r，r>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到s＝4πr
5樓：行星復甦
我不知道你的想法，但我這樣求（為什麼“高為四分之一圓周（1/2πr）”）。
把整個球分為一個個一摸一樣的整四稜錐，它們的頂點聚集於球心，而其底面則共同構成球面，也就是說這是一個正多面體，於是當正四稜錐無限多時，球體積就等於四稜錐體積和，即v（四稜錐和）=nv（四稜錐)=v（球）=4/3*πr^3
四稜錐的高就是半徑,即h=r
又v（四稜錐）=1/3*sh
所以球面積
s=ns（四稜錐）=n（3v（四稜錐）/h）=3nv（四稜錐）/h=3*4/3*πr^3/r=2πr²
6樓：水光自然
小三角形的底之和即為圓周（2πr），高為四分之一圓周（1/2πr），這句錯了啦！！
這是曲面勒
要用微積分，看樓上。
7樓：
用^表示平方
把一個半徑為r的球的上半球切成n份 每份等高並且把每份看成一個圓柱，其中半徑等於其底面圓半徑則從下到上第k個圓柱的側面積s(k)=2πr(k)*h其中h=r/n r(k)=根號[r^-(kh)^]s(k)=根號[r^-(kr/n)^]*2πr/n=2πr^*根號[1/n^-(k/n^)^]則 s(1)+s(2)+……+s(n) 當 n 取極限（無窮大）的時候就是半球表面積2πr^
乘以2就是整個球的表面積 4πr^
球體積公式怎麼推匯出來的，球的體積公式怎麼推匯出來的，要詳細的過程
小小芝麻大大夢 證明 證 v 4 3 r 3 欲證v 4 3 r 3，可證1 2v 2 3 r 3做一個半球h r,做一個圓柱h r v柱 v錐 r 3 r 3 3 2 3 r 3 若猜想成立，則v柱 v錐 v半球 根據祖?原理 夾在兩個平行平面之間的兩個立體圖形，被平行於這兩個平面的任意平面所截，...
尤拉公式的推導過程，尤拉公式如何推匯出來
慕野清流 一方面，在原圖中利用各面求內角總和。設有f個面，各面的邊數為n1,n2，nf，各面內角總和為 n1 2 180 n2 2 180 nf 2 180 n1 n2 nf 2f 180 2e 2f 180 e f 360 1 另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。設剪去的一個面為n邊形，其內角...
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