1樓：慕野清流
一方面，在原圖中利用各面求內角總和。
設有f個面，各面的邊數為n1,n2，…，nf，各面內角總和為：
σα = [(n1-2)·180+(n2-2)·180 +…+(nf-2) ·180]
= (n1+n2+…+nf -2f) ·180
=(2e - 2f) ·180= (e-f) ·360 （1）
另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。
設剪去的一個面為n邊形，其內角和為(n-2)·180，則所有v個頂點中，有n個頂點在邊上，v-n個頂點在中間。中間v-n個頂點處的內角和為(v-n)·360，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·180。
所以，多面體各面的內角總和：
σα = (v-n)·360+(n-2)·180+(n-2)·180 =（v-2）·360. （2）
由(1)(2)得： (e-f) ·360 =（v-2）·360
所以 v + f – e = 2.
2樓：匿名使用者
級數即可證明
將函式y=e^x、y=sinx、y=cosx用冪級數,有
e^x=exp(x)＝1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋x^4/4！＋…＋x^n/n！＋… <1>
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… <2>
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… <3>
將<1>式中的x換為ix,得到<4>式；
將i*<2>+<3>式得到<5>式。比較<4><5>兩式，知<4>與<5>恆等。
於是我們匯出了e^ix=cosx+isinx，
將公式裡的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
此時三角函式定義域已推廣至整個複數集。
p.s.
冪級數c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n+...=∑cnx^n (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+...+cn(x-a)^n+...=∑cn(x-a)^n (n=0..∞)
它們的各項都是正整數冪的冪函式, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數, 這種級數稱為冪級數.
泰勒式(冪級數法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+...f(n)(a)/n!*(x-a)^n+...
實用冪級數：
ex = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)k-1*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞ cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞ arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1) sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞ cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞ arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ... (|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1) 3樓：波波蘿 尤拉公式如何推匯出來 4樓：縱橫豎屏 推導過程這三個公式分別為其省略餘項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式 這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1； 以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”。 5樓：匿名使用者 e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明： 因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3! +x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4! -x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5! -x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3= 6樓：抗豐席韋 尤拉公式有4條 （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1 當r=3時值為a+b+c （2）複數 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形 設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d＾2=r＾2-2rr （4）多面體 設v為頂點數，e為稜數，是面數，則 v-e+f=2-2p p為尤拉示性數，例如 p=0的多面體叫第零類多面體 p=1的多面體叫第一類多面體 等等其實尤拉公式是有4個的，上面說的都是多面體的公式 7樓：林清他爹 尤拉公式不是推匯出來的，尤拉公式就是一個定義式！如下： 在複變函式中，設z是一個作為宗量（也就是自變數）的複數，則z=x+iy。則定義w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^iy)=(e^x)(cosy+isiny)。請注意上式的幾個等號的含義： 第二個等號定義了有e^z這種形式的複變函式（具體是什麼對應法則不清楚，只是告訴你有這麼樣的一個函式）；第三個等號不是新的定義，是等價替換；第四個等號是一個新的定義，定義了這個函式滿足一個新的運演算法則（指數之和可以拆分成兩項之積，類似於實數）；第五個等號定義了尤拉公式，告訴你e^iy具體的對應法則！（這裡可能有點不好理解，因為e^z是一個複變函式，那麼e^z肯定是一個複數，那麼它肯定也能用x+iy這樣的形式表達出來，第五個等號就是給出了函式的對應法則！） 所以嚴格來說尤拉公式不是推匯出來的，只是一個定義式！只不過當時沒有直接定義，而是根據類比實數得出來的，然後才有了嚴格的定義。網上有好多人問尤拉公式怎麼證明，其實這顯示出了他們邏輯的混亂，沒有正確區分類比演義，定義，定理，證明四者的關係。 剛開始並沒有尤拉公式這個嚴格的定義，最初的尤拉公式是人們通過類比實數得出的演繹結果罷了，然後才有了尤拉公式嚴格的定義。 8樓： 複變函式論裡的尤拉公式 e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明： 因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3! +x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4! -x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5! -x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1! -x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4! …… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式裡的x換成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起：兩個超越數： 自然對數的底e，圓周率 π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，我們只能看它而不能理解它。 9樓：匿名使用者 |令z=cosx＋isinx 則dz/dx=－sinx＋icosx=i²sinx＋icosx=zidz/z=idx ln|z|=ix＋c 由於x=0時，z=1，則c=0 所以ln|z|=ix z=e^(ix)=cosx＋isinx 10樓：狂曠念鴻禧 用拓樸學方法證明尤拉公式 嘗尤拉公式：對於任意多面體（即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體），假 設f，e和v分別表示面，稜（或邊），角（或頂）的個數，那麼 f-e+v=2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、稜、頂點數的尤拉公式。 證明如圖15（圖是立方體，但證明是一般的，是“拓樸”的）： （1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。 （2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設f′，e′和v′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明f′-e′+v′=1。 （3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，f′和e′各增加1，而v′卻不變，所以f′-e′+v′不變。因此當完全分割成三角形的時候，f′-e′+v′的值仍然沒有變。 有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。 （4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△abc，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即ac，這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變，所以f′-e′+v′也沒有變。 （5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△def，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即df和ef，這樣就去掉△def。這樣f′減去1，e′減去2，v′減去1，因此f′-e′+v′仍沒有變。 （6）這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。 （7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。 （8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此f′-e′+v′仍然沒有變。 即f′-e′+v′=1 成立，於是尤拉公式： f-e+v=2得證。 若用f表示乙個正多面體的面數，e表示稜數，v表示頂點數，則有f v e 2。為了方便記憶，有個口訣 加兩頭減中間 因為幾何最基本的概念是點線面，這個公式是頂點加麵減稜，這樣記就絕不會錯啦，是我的經驗。v f e x p v是多面體p的頂點個數，f是多面體p的面數，e是多面體p的稜的條數,x p 是多... 凌月霜丶 即 尤拉公式 公式描述 若g為一連通之平面圖，則 v f e 1 d 2 其中v代表g中點的個數，f代表g中面的個數，而e是g的邊數。d是g的空間維數 此公式同樣適用於立體圖形d就等於3 簡單的來說，就是乙個幾何結構 即立體圖形或者平面圖形 的頂點數 面數 邊數 1 空間維數。求尤拉公式 ... 布樂正 e ix cosx isinx cosx e ix e ix 2sinx e ix e ix 2i 也可以為級數形式 sinx x x 3 3 x 5 5 cosx 1 x 2 2 x 4 4 1 當 r 2時 由說明 1,這兩個區域可想象為 以赤道為邊界的兩個半球面 赤道上有兩個 頂點 將...多面體尤拉公式，尤拉公式是什麼
什麼是三角函式尤拉公式，為何可以從尤拉公式推到拉普拉斯呢
sinwt由尤拉公式怎麼寫成全是e的指數函式的形式啊，求詳解