1樓：
數學教學中啟用學生思維的策略
2023年12月22日 紹興市高階中學 朱根苗
“教師應充分調動學生的學習積極性，主動性，激發學生的學習興趣，讓學生積極主動的參與教學過程”，儘管這一理念早已成為共識，而環顧現實，“結論式”，“填鴨式”，“一言堂”式的教學仍比比皆是。 教師在講臺上“唾沫飛濺”，做著各種“精彩表演”的同時，學生卻昏昏欲睡，對所學的知識一片茫然。如此教學，學生的主體地位得不到保障，對學生思維能力和創新意識的培養更是無從談起。
筆者結合教學實際，就如何在教學中啟用學生的思維，使學生興致盎然地參與教學談自己的一些想法。
一、故設疑障，啟用思維
學起于思，思源於疑。學生在學習過程中，常因概念不清，或忽視公式、定理的限制條件而出現各種各樣的錯誤。教師在教學過程中，應潛心布疑設障，將學生易犯的錯誤充分暴露出來，引發認知衝突，啟用學生的思維，激發學生的**慾望。
如在三角函式求值問題中，學生常易忽視角的範圍對所求值的限制。筆者設計瞭如下一習題：
已知：sinθ＋cosθ=（0<θ＜π），求tanθ的值？
讓學生思考，討論。學生**現比較多的解法是，將sinθ＋cosθ=兩邊平方得sin2θ=，再由萬能公式得=，解得tanθ=-或tanθ=-，因為0<θ<π，故tanθ=-或tanθ=-符合題意，所以tanθ=-或tanθ=-。學生一副信心十足的樣子。
教師：大家所得的結果並不完全正確。
學生一愣，隨之交頭接耳，思維頓時活躍起來。
教師：發現錯誤的原因了嗎？
學生1：我認為第一步平方時，可能是導致錯誤的原因，因為sinθ＋cosθ=-平方得到的結果也是sin2θ=。
學生2：我認為我們應該把θ的範圍弄清楚。
下面馬上有學生說，θ的範圍題目不已經告訴我們了嗎？
教師：大家都說得很好，看來我們一定得研究θ的範圍，只要θ的範圍弄清楚了，我們所求的值是否正確也就不言自明瞭。
方向已明，學生很快發現θ應在（，）上，故tanθ＜－1，所以tanθ=-。教師進一步將問題引向深入。
教師：那麼我們以後遇到類似問題，該如何避免類似的錯誤呢？
學生3：合理的選擇三角公式或一開始弄清楚角的範圍可避免類似的錯誤。
可見，教師適時的設疑布障，可啟用學生的思維，將學生對問題的認識引向深入。
二、鼓勵質疑，啟用思維
心理學研究表明：心中有疑是思維的起點。沒有疑惑的思維是膚淺的，被動的思維，只有當個體活動感到自己需要問個“為什麼”，“是什麼”，“怎麼辦”的時候，思維才算真正啟動。
教師應在教學中培養學生的問題意識，鼓勵學生提問，尤其是引導學生對習以為常的現象或一些權威提出一些新的觀點或想法，這樣無疑會啟用學生的思維。筆者曾在教學中向學生提及曹衝稱象的故事，學生對曹衝的聰明才智讚歎不已。筆者靈機一動，就此引導學生：
曹衝是聰明，他的方法是好，難道我們現代人中就沒有比曹衝更聰明的人了，難道我們現代人就想不出比曹衝更好的辦法了？就此一問，學生的思維頓時活躍了起來，他們的爭勝慾望被激發，都想成為比曹衝更聰明的人，都想得到比曹衝更好的辦法。而學生確實也想出了一些好辦法。
如有學生認為曹衝稱象時用石頭比較麻煩，把石頭搬到船上再搬到岸上，費勁又費力，還不如用人或其他動物來代替來得方便。學生提出了許多有創意的想法，雖然學生的有些想法並不全面，有的甚至幼稚，但至少說明學生已在積極的思維。
三、實驗**，啟用思維
數學教學是過程的教學，讓學生體會知識發生，發展的過程，讓學生在**的過程中品嚐數學學習帶來的喜悅，啟用思維，熱愛數學。尤其是讓學生通過實驗去**，發現數學知識更能激發學生的興趣。如在**同底同高的圓錐與圓柱的體積關係時，筆者讓每個學生動手製作了同底等高的圓錐與圓柱各一個，然後引導學生通過實驗將兩者的體積關係揭示出來。
學生的積極性很高，也想出了一些好的方法。如：
方案1：將圓錐形容器盛滿水，然後倒入圓柱形容器中，如此重複三次，剛好將圓柱形容器裝滿，故得出它們的體積比例關係是1:3。
方案2：用沙子代替方案1中的水，其他照常。
方案3：將兩個容器都盛滿水，然後倒入燒杯度量，測量所得結果之比即為它們的體積之比。
又如在教學球面距離的概念時，學生很難理解。這時，筆者就提醒學生能否用實驗來驗證一下。學生一聽，這樣的概念還能驗證，活躍異常。幾個小組做開了實驗，得到了一些好方法，如：
在地球儀上找兩個點，將橡皮筋的兩端固定在這兩個點，使橡皮筋緊貼在球面上，然後來回扯動，在扯動過程中，橡皮筋最鬆的時候，此時，橡皮筋所在的球面上的弧即為球面上這兩點間的最短距離。
由此可見，我們沒有理由懷疑學生的思維能力和動手能力，只是他們需要老師的鼓勵，點撥。
四、編制習題，啟用思維
事實上，我們所面對的學生是具有創造力的群體，他們不象成年人那樣，受到許多定勢和條條框框的影響。他們的思維是活躍的，他們也渴望自己去**，發現知識，渴望去創造一些東西，只是他們苦於沒有這樣的機會，我們的許多教師也不相信自己的學生，總是喜歡包辦。教師應多給學生自己去**、創造的機會，這樣很容易啟用學生的思維。
而放手讓學生編制一些習題，無疑是一種好方法。筆者在講了如下例題，已知：x2+y2=10，求x+y的取值範圍？
然後適時引導學生，能否以此題為原型，編制一些新的題目（以前曾經**過編題的一些方法），一聽說要自己編題，學生的學習興致陡漲，忙得不亦樂乎。很多同學編制了不錯的題目。如：
①保持結論不變，適當改變題設的有：
已知x，y∈r，x2+y2=m（m>0），求x+y的取值範圍？
已知x，y∈r，2x2+3y2=10，求x+y的取值範圍？
已知x，y∈r，x2-y2=10，求x+y的取值範圍？
②保持題設不變，適當改變結論的題目有：
已知x，y∈r，x2+y2=10，求2x+y的取值範圍？
已知x，y∈r，x2+y2=10，求xy的取值範圍？
已知x，y∈r，x2+y2=10，求+的取值範圍？
已知x，y∈r，x2+y2=10，求的取值範圍？
③從研究逆命題出發改編的題目有：
已知x+y=1，x，y∈r，求x2+y2的最小值？
已知x+y=m，x，y∈r，求x2+y2的最小值？
已知mx+ny=1（m，n不同時為零），求x2+y2的最小值？
看到學生所編的這些題目，我很是驚訝，驚訝學生的創造力。教師應充分相信學生，讓他們去想，去做。
五、一題多解，啟用思維
由於思維定勢產生的負效應，學生解題有時往往墨守成規，缺乏靈活性，教師若能在教學中啟發學生多角度，多渠道進行廣泛聯想，則能得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法。使同樣的問題解法不斷得到優化，更能激發學生的學習興趣，啟用學生的思維。如筆者在教學不等式的證明以後，給了學生一個題目，已知x，y∈r+且x+y=1，求1/x+1/y的最小值？
並告訴學生該題有多種解法。學生也是八仙過海，各顯神通，想出了不少妙解。如：
解法1：逆代法 因為x+y=1，所以+=（x+y）（+）≥4故+的最小值是4。
解法2：均值換元 設x=+t，y=-t（0 解法3：三角換元 設x=cos2θ，y＝sin2θ（θ≠π）則+=csc2θ+sec2θ=1+tan2θ+1+cot2θ≥4
解法4：代入法 x+y=1代入+得+=+=2++≥4
解法5：消元法 由x+y=1得x=1-y則+=+=因為y>0，1-y>0所以y（1-y）≤（）2=故+≥4
（選自《紹興教育》2023年第12期）
2樓：匿名使用者
由已知可知影象為圓，x:[0,2],y:[-1,1],把x2-y2看做一個變數z,由已知可以把要求的表示式轉化為關於x或者關於y的表示式，這樣問題就成了二次函式求最值的問題，我的答案是[-1/2，4]
已知實數x,y滿足關係:x2+y2-2x+4y-20=0(1)求x2+y2的範圍（2）x/y的範圍
3樓：匿名使用者
^x^2+y^2-2x+4y-20=0即(x-1)²+(y+2)²=25 ,表示圓心為點(1,2),半徑為5的圓。
(1).x2+y2=^2,表示圓(x-1)²+(y+2)²=25上的點(x,y)與原點(0,0)距離的平方
根號[(0-1)²+(0+2)²]<5,原點(0,0)在圓(x-1)²+(y+2)²=25內
圓(x-1)²+(y+2)²=25上的點(x,y)與原點(0,0)距離最大為圓半徑+圓心與原點距離=5+根號5，
圓(x-1)²+(y+2)²=25上的點(x,y)與原點(0,0)距離最小為圓半徑-圓心與原點距離=5-根號5,
(5-根號5)^2= x^2+y^2的範圍為[5(6-2根號5),5(6+2根號5)]. (2).y/x=(y-0)/(x-0)表示表示圓(x-1)²+(y+2)²=25上的點(x,y)與原點(0,0)連線的斜率， 原點(0,0)在圓(x-1)²+(y+2)²=25內，圓上除與y軸交點與原點連線斜率不存在(斜率倒數為0)外，其餘的點與原點連線斜率可取遍實數，x/y(y不等於0)上y/x的倒數，x/y可取遍實數，x/y的範圍為r 4樓：匿名使用者 可以三角換元或用數形結合 原式＝（x-1)²+(y+2)²=25 (2)問可轉化為圓上一點與原點的斜率問題 答案：（1）[30-10*5½,30+10*5½] (2)r max f x,y x 2 y 2 6x 8y x 3 2 y 4 2 25 x 2 y 2 36 畫出圖形即可知道 原題實際上是求f x,y 這個圓的圓心 3,4 到圓x 2 y 2 36上的最大距離，即求l 2 x 3 2 y 4 2的最大值，將x 2 y 2 36代入上式得 l 2 8 36 ... 1 求代數式 3x 2y 2 2y 3x 3x 2y 3x 2y 的值,其中x等於2005,y等於2 3x 2y 2 2y 3x 3x 2y 3x 2y 3x 2y 3x 2y 3x 2y 3x 2y 4y 16y 由於y 2 642 若x y為有理數，且x y 1 2 x y，求x yx y 1 ... 說明圓 x a 2 y b 2 6與另外乙個圓的交點連線必為另乙個圓的直徑。連線兩個交點，再連線兩個圓心再連線m點與兩個交點，可以得到，兩個圓圓心的距離的平方等於兩個圓的半徑的平方的差 即構成乙個直角三角形 所以 a 1 2 b 1 2 1即所求方程為 a 1 2 b 1 2 1 想減2x 2ax ...求函式z x 2 y 2 6x 8y在閉區域x 2 y 2小於等於36的上的最值？最大值
1 求代數式 3x 2y 2 2y 3x 3x 2y3x 2y 的值,其中x等於2019,y等於
若圓 x a 2 y b 2 1始終平分圓x 2 y 2 2x 2y 3 0的周長，則動點M（a,b）的軌跡方程是