1樓：渴死的魚
定義三角函式是數學中屬於初等函式中的超越函式的一類函式。它們的本質是任意角的集合與乙個比值的集合的變數之間的對映。通常的三角函式是在平面直角座標系中定義的，其定義域為整個實數域。
另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴充套件到複數系。
由於三角函式的週期性，它並不具有單值函式意義上的反函式。
三角函式在複數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函式也是常用的工具。
它有六種基本函式：
函式名正弦余弦正切餘切正割餘割
符號 sin cos tan cot sec csc
正弦函式sin（a）=a/h
余弦函式cos（a）=b/h
正切函式tan（a）=a/b
餘切函式cot（a）=b/a
在某一變化過程中，兩個變數x、y，對於某一範圍內的x的每乙個值，y都有確定的值和它對應，y就是x的函式。這種關係一般用y=f(x）來表示。
函式概念的發展歷史
⒈早期函式概念——幾何觀念下的函式
十七世紀伽俐略（g．galileo，意，1564－1642）在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函式或稱為變數關係的這一概念，用文字和比例的語言表達函式的關係。2023年前後笛卡爾（descartes，法，1596－1650）在他的解析幾何中，已注意到乙個變數對另乙個變數的依賴關係，但因當時尚未意識到要提煉函式概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函式的一般意義，大部分函式是被當作曲線來研究的。
2023年，萊布尼茲首次使用「function」 （函式）表示「冪」，後來他用該詞表示曲線上點的橫座標、縱座標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 「流量」來表示變數間的關係。
⒉十八世紀函式概念──代數觀念下的函式
2023年約翰?貝努利（bernoulli johann，瑞，1667－1748）在萊布尼茲函式概念的基礎上對函式概念進行了定義：「由任一變數和常數的任一形式所構成的量。
」他的意思是凡變數x和常量構成的式子都叫做x的函式，並強調函式要用公式來表示。
1755，尤拉（l．euler，瑞士，1707－1783） 把函式定義為「如果某些變數，以某一種方式依賴於另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函式。」
18世紀中葉尤拉（l．euler，瑞，1707－1783）給出了定義：「乙個變數的函式是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表示式。」他把約翰?
貝努利給出的函式定義稱為解析函式，並進一步把它區分為代數函式和超越函式，還考慮了「隨意函式」。不難看出，尤拉給出的函式定義比約翰?貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
⒊十九世紀函式概念──對應關係下的函式
2023年，柯西(cauchy，法，1789－1857） 從定義變數起給出了定義：「在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變數，其他各變數叫做函式。」在柯西的定義中，首先出現了自變數一詞，同時指出對函式來說不一定要有解析表示式。
不過他仍然認為函式關係可以用多個解析式來表示，這是乙個很大的侷限。
2023年傅利葉（fourier，法國，1768——1830）發現某些函式也已用曲線表示，也可以用乙個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函式概念是否以唯一乙個式子表示的爭論，把對函式的認識又推進了乙個新層次。
2023年狄利克雷(dirichlet，德，1805－1859） 突破了這一侷限，認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要，他拓廣了函式概念，指出：「對於在某區間上的每乙個確定的x值，y都有乙個或多個確定的值，那麼y叫做x的函式。」這個定義避免了函式定義中對依賴關係的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。
這就是人們常說的經典函式定義。
等到康托（cantor，德，1845－1918）創立的集合論在數學中占有重要地位之後，維布倫（veblen，美，1880－1960）用「集合」和 「對應」的概念給出了近代函式定義，通過集合概念把函式的對應關係、定義域及值域進一步具體化了，且打破了「變數是數」的極限，變數可以是數，也可以是其它物件。
⒋現代函式概念──集合論下的函式
2023年豪斯道夫(f．hausdorff）在《集合論綱要》中用不明確的概念「序偶」來定義函式，其避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念。庫拉托夫斯基(kuratowski）於2023年用集合概念來定義「序偶」使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930 年新的現代函式定義為「若對集合m的任意元素x，總有集合n確定的元素y與之對應，則稱在集合m上定義乙個函式，記為y=f(x）。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。」
術語函式，對映，對應，變換通常都有同乙個意思。
但函式只表示數與數之間的對應關係，對映還可表示點與點之間，圖形之間等的對應關係。可以說函式包含於對映。
正比例函式：
正比例函式y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條經過原點的直線．當x>0時，圖象經過
三、一象限，從左向右上公升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，圖象經過
二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．
正是由於正比例函式y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條直線，我們可以稱它為直線y=kx．
（另：中文「函式」名稱的由來
在中國清代數學家李善蘭（1811—1882）翻譯的《代數學》一書中首次用中文把「function」翻譯為「函式」，此譯名沿用至今。對為什麼這樣翻譯這個概念，書中解釋說「凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函式」；這裡的「函」是包含的意思。）
深入研究一次函式
徐若翰在學習一次函式時，根據中學要求，我們還要深入研究它的實際應用，以及如何改變圖象的位置。
實際問題中的分段函式
[例1]（2023年武漢市）小明早晨從家騎車到學校，先上坡後下坡，行程情況如圖。若返回時上、下乙個坡的速度不變，那麼小明從學校騎車回家用的時間是多少？
分析：上、下坡的速度不同，問題要分兩段來研究。
根據函式圖象提供的資訊，可知小明從家去學校時，上坡路程為3600公尺，下坡路程為9600－3600=6000（公尺）。
∴上坡速度為3600÷18=200（公尺/分鐘）
下坡速度為6000÷（30－18）=500（公尺/分鐘）
小明回家時，上坡路程6000公尺，下坡路程3600公尺，所用時間為6000÷200+3600÷500=37.2（分鐘）。
在物理學科中的應用
[例2]（2023年黃岡市）某班同學在**彈簧的長度與外力的變化關係時，實驗記錄得到的相應資料如下表：
求y關於x的函式解析式及自變數的取值範圍。
分析：根據物理學知識可知，彈簧在外力（所掛砝碼的重力）作用下發生形變（伸長），外力與指標位置的關係可以用一次函式表示；但是，每個彈簧所受的外力都有一定的限度，因此我們必須求出自變數的取值範圍。
由已知資料求出：在彈簧受力伸長過程中，
令y=7.5，得x=275
∴所求函式為
注 兩段之間的分界點是x=275，不是x=300。
直線平移的應用
[例3]（2023年黑龍江省）在直角座標系中，已知點a（－9，0）、p（0，－3）、c（0，－12）。問：在x軸上是否存在點q，使以點a、c、p、q為頂點的四邊形是梯形？
若存在，求直線pq的解析式；若不存在，請說明理由。
分析：在所研究的梯形中哪兩邊平行？有兩種可能：如果，就是把直線ca平移，經過p點易求直線ca的解析式為
平移後得到直線的解析式為
如果把直線pa：平移，經過c點
得到直線：
直線交x軸於點（－36，0）
直線的解析式為
如何理解函式概念
曹陽函式是數學中的乙個極其重要的基本概念，在中學數學中，函式及其有關的內容很豐富，所佔份量重，掌握好函式的概念對今後的學習非常有用。回顧函式概念的發展史，「函式」作為數學術語是萊布尼茲首次採用的，他在2023年的**中第一次提出函式這一概念，但其含義與現在對函式的理解大不相同。現代初中數學課程中，函式定義採用的是「變數說」。
即：在某變化過程中，有兩個變數x，y，如果對於x在某一範圍內的每乙個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那麼就把y稱為x的函式，x稱為自變數，y稱為因變數。
它明確指出，自變數x在某一給定範圍可以取任乙個值，因變數y按一定的規律也相應每次取唯一確定的值。但是，初中階段並不要求掌握自變數的取值範圍（看一下初中要學的幾個函式可知，這個定義完全夠用，而且，對於初中生來說，也容易理解）。
函式概念的抽象性很強，學生不易理解，要理解函式概念必須明確兩點：第一，明確自變數和因變數的關係，在某變化過程中，有兩個變數x，y，如果看成y隨x 的變化而變化，那麼x稱為自變數，y稱為因變數；如果看成x隨y的變化而變化，那麼y稱為自變數，x稱為因變數。第二，函式定義的核心是「一一對應」，即給定乙個自變數x的值就有唯一確定的因變數y的值和它對應，這樣的對應可以是「乙個自變數對應乙個因變數」（簡稱「一對一」），也可以是「幾個自變數對應乙個因變數」（簡稱「多對一」），但不可以是「乙個自變數對應多個因變數」（簡稱「一對多」），下面以圖1來闡述這樣的對應關係（其中x是自變數，y是因變數）：
「一對一」 「多對一」 「一對多」
是函式 是函式 不是函式
圖1下面舉4個例子幫助大家理解函式的概念：
例1 一根彈簧的長度為10cm，當彈簧受到拉力f（f在一定的範圍內）時，彈簧的長度用y表示，測得有關的資料如表1：
表1拉力f（kg）12
34…彈簧的長度y（c）
…彈簧的長度y是拉力f的函式嗎？
分析：從**中可讀出資訊，當拉力分別是1kg、2kg、3kg、4kg時，都唯一對應了乙個彈簧的長度y，滿足函式的定義，所以彈簧的長度y是拉力f的函式。一般地，以**形式給出的函式，第一行是自變數的值，第二行是因變數的值。
例2 圖2是某地區一年內每個月的最高氣溫和最低氣溫圖。
圖2圖2描述了哪些變數之間的關係？你能將其中某個變數看成另乙個變數的函式嗎？
分析：圖中給出了三個變數，最高氣溫、最低氣溫和月份，從圖中可以直觀地看出最高氣溫和最低氣溫隨著月份的變化而變化，而且每月的最高氣溫和最低氣溫都是唯一的，所以最高氣溫（或最低氣溫）是月份的函式。我們還可以發現7月和8月的最高氣溫相同，也就是說兩個自變數對應了同一因變數。
一般地，以圖象形式給出的函式，橫軸表示自變數，縱軸表示因變數。
例3 下列變數之間的關係是不是函式關係？說明理由。
⑴圓的面積s與半徑r之間的關係；
⑵汽車以70千公尺/時的速度行駛，它駛過的路程s（千公尺）和所用時間t（時）之間的關係；
⑶等腰三角形的面積是，它的底邊長y（厘公尺）和底邊上的高x（厘公尺）之間的關係。
分析：⑴圓的面積s與半徑r之間的關係式是，當半徑確定時，圓的面積s也唯一確定，所以圓的面積s與半徑r之間的關係是函式關係。
⑵路程s（千公尺）和所用時間t（時）的關係式是，當時間t確定時，路程s也唯一確定，所以路程s（千公尺）和所用時間t（時）之間的關係是函式關係。
⑶底邊長ycm和底邊上的高xcm的關係式是，當底邊上的高x確定時，底邊長y也唯一確定，所以底邊長ycm和底邊上的高xcm之間的關係是函式關係。
一般地，以關係式形式給出的函式，等號左邊是因變數，等號右邊的未知數是自變數。
例4 下列圖象中，不能表示函式關係的是（）
分析：在上面四個圖象中，a、c、d都可以表示函式關係，因為任意給定乙個自變數x的值，都有唯一的乙個y值與它相對應，但是b圖中，任意給定乙個自變數x的值，卻有兩個不同的y值與它對應，所以本題應選b。
[問題2.9]設m是乙個小於2006的四位數，已知存在正整數n，使得m－n為質數，且mn是乙個完全平方數，求滿足條件的所有四位數m。
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