1樓：一笑而過
f'(x)與x^k是等價無窮小意味著x趨於0時limf'(x)/x^k=m（m為非0常數），用洛必達法則，注意分子是變上限積分求導，又x^2對於積分變數t來說可看做常數拿到積分號外，即f(x)=x^2∫f(t)dt-∫t^2*f(t)dt，所以limf'(x)/x^k=lim[2x∫f(t)dt+x^2f(x)-x^2f(x)]/x=lim2∫f(t)dt/x^(k-1)=（用洛必達）lim2f(x)/(k-1)x^(k-2)=lim2f'(x)/(k-1)(k-2)x^(k-3)=m，由於此時分母不等於0，若極限=m，則分母的極限也必須是非0常數（不是無窮），而滿足要求的只有k=3
2樓：
f'(x)~x^k
limf'(x)/x^k=1
f(x)=∫（0，x) (x^2-t^2)f(t)dt
f(x)=x^2*∫（0，x) f(t)dt-∫（0，x) (t^2)f(t)dt
f'(x)=2x*∫（0，x) f(t)dt+x^2f(x)-x^2f(x)
f'(x)=2x*∫（0，x) f(t)dt
limf'(x)/x^k=lim[2∫（0，x) f(t)dt]/x^(k-1)
分子分母都趨於0
用洛布塔法則：
limf'(x)/x^k=lim[2f(x)/[(k-1)x^(k-2)]＝2lim[(f(x)/x)*1/[(k-1)x^(k-3)]]
＝2lim[(f(x)-f(0))/(x-0)]*lim[1/[(k-1)x^(k-3)]]=1
其中lim[(f(x)-f(0))/(x-0)]=f'(0)
故2f'(0)*lim[1/[(k-1)x^(k-3)]]=1
由於f'(0)不為0,要使極限為常數，只有當x^(k-3)為常數才成立．故，k-3=0 k=3
3樓：
這個很要把被積函式裡的x^2分離出來
lim(x→0) f(x)/x^(k+1)
=lim(x→0) [x^2∫[0,x] f(t)dt-∫[0,x] t^2f(t)dt]/x^(k+1) (0/0)
=lim(x→0) [2x∫[0,x] f(t)dt+x^2f(x)-x^2f(x)]/x^(k+1) (注意分母就是f'(x))
=1/(k+1)lim(x→0) 2x∫[0,x] f(t)dt/x^k
=2/(k+1)lim(x→0) ∫[0,x] f(t)dt/x^(k-1) (0/0)
=2/[(k+1)(k-1)] lim(x→0) f(x)/x^(k-2) (0/0)
=2/[(k+1)(k-1)(k-2)] lim(x→0) f'(x)/x^(k-3)
=常數因此
x^(k-3)=常數
因此k=3
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